[논문 리뷰] Lichnerowicz cocycles and central Lie group extensions

Cornelia Vizman|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 31.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 그라스만이안에서의 해밀턴 작용과 사전량화를 통해, 체적을 보존하는 미분형식의 덮개군의 중심 확장을 리히너도프 코사이클을 이용하여 구성한다. Lichnerowicz 코사이클이 통합되는 최소 덮개군 $\overline{\rm Diff}(M,\mu)$를 특정하고, 해당 심플렉틱 다양체를 중심 확장 내의 사전량화 가능한 공대칭 궤도로 실현하여, 운동량 맵과 사전량화 배럴의 풀백을 통한 확장의 기하적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We present a geometric construction of central extensions of covering groups of the group of volume preserving diffeomorphisms, integrating central extensions of the Lie algebra of divergence free vector fields defined by Lichnerowicz cocycles. Certain covering spaces of non-linear Grassmannians can be realized as prequantizable coadjoint orbits in these Lie group extensions.

연구 동기 및 목표

• 체적 보존 미분형식의 덮개군의 중심 리군 확장을 사전량화와 해밀턴 작용을 통해 기하적으로 실현하기.
• Lichnerowicz 코사이클이 통합되는 최소 덮개군 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$를 특정하기.
• 일부 비선형 그라스만이안의 덮개 공간이 이러한 중심 확장 내의 사전량화 가능한 공대칭 궤도로 나타나는지 보여주기.
• 플럭스 호모모르피즘과 리 대수 2-코사이클의 통합 가능성 사이의 대응관계 수립하기.

제안 방법

• 해밀턴 작용을 통해 심플렉틱 다양체 위에서 사전량화 중심 확장을 풀백하여 중심 리군 확장 구축하기.
• 운동량 맵을 사용하여 심플렉틱 다양체 $\bar{\mathcal{M}}$ 를 중심 확장의 공대칭 궤도로 실현하기.
• 최소 덮개군 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$를 몫 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0 / \Pi_{\mathcal{M}}$ 로 정의하며, 여기서 $\Pi_{\mathcal{M}}$ 는 $\pi_1(\mathcal{M}) \to H_{m-1}(M,\mathbb{R})$ 로의 사영의 핵이다.
• 플럭스 호모모르피즘을 사용하여 발산이 없는 벡터장의 리 대수 위에서 Lichnerowicz 코사이클 $\omega_{N_0}$ 의 통합 가능성 결정하기.
• 심플렉틱 형식 $q^*\tilde{\mu}$ 가 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 의 작용에 대해 불변이며, 운동량 맵 $\bar{J}([N_t])(X) = \int_{[N_t]} i_X \mu$ 를 갖는 해밀턴 작용임을 보여주기.
• 사전량화 확장의 $\bar{\mathcal{M}}$ 에 대한 풀백이 $\omega_{N_0}$ 를 통합하는 중심 확장을 유도함을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체적 보존 미분형식의 군 $\text{Diff}(M,\mu)_0$ 의 Lichnerowicz 코사이클 $\omega_{N_0}$ 가 통합되는 최소 덮개군은 무엇인가?
• RQ2 유니버설 커버 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu}_0$ 의 중심 확장이 사전량화를 통해 어떻게 기하적으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 덮개 공간 $\bar{\mathcal{M}} = \widetilde{\mathcal{M}} / \Pi_{\mathcal{M}}$ 는 이러한 중심 리군 확장 내의 사전량화 가능한 공대칭 궤도로 실현될 수 있는가?
• RQ4 플럭스 호모모르피즘이 Lichnerowicz 코사이클의 통합 가능성을 방해하거나 허용하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\bar{\mathcal{M}}$ 에서의 운동량 맵 $\bar{J}$ 는 중심 확장의 공대칭 궤도 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 최소 덮개군 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)$ 는 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0 / \Pi_{\mathcal{M}}$ 로 구성되며, 여기서 $\Pi_{\mathcal{M}}$ 는 $\pi_1(\mathcal{M}) \to H_{m-1}(M,\mathbb{R})$ 의 사영의 핵이다. 이는 Lichnerowicz 코사이클 $\omega_{N_0}$ 의 통합 가능성을 보장한다.
• 심플렉틱 다양체 $\bar{\mathcal{M}} = \widetilde{\mathcal{M}} / \Pi_{\mathcal{M}}$ 는 중심 확장 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 와 $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 의 사전량화 가능한 공대칭 궤도이다.
• Lichnerowicz 코사이클 $\omega_{N_0}$ 를 통합하는 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 의 중심 확장은 $\bar{\mathcal{M}}$ 에서의 사전량화 중심 확장의 풀백을 통해 얻어진다.
• 운동량 맵 $\bar{J}([N_t])(X) = \int_{[N_t]} i_X \mu$ 는 $\bar{\mathcal{M}}$ 에서 잘 정의되어 있으며 단사적이며, 공대칭 궤도의 구조를 확인한다.
• $\widetilde{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 와 $\overline{\text{Diff}}(M,\mu)_0$ 의 $\bar{\mathcal{M}}$ 에 대한 작용은 $q^*\tilde{\mu}$ 에 대해 해밀턴적이며, 기본 벡터장은 $Tq.\bar{\zeta}_X = \zeta_X$ 를 만족한다.
• 사전량화 확장의 풀백은 $\omega_{N_0}$ 를 통합하는 중심 리군 확장을 유도하며, $\bar{\mathcal{M}}$ 의 심플렉틱 형식은 $-q^*\tilde{\mu}(\bar{\zeta}_X, \bar{\zeta}_Y) = \omega_{N_0}(X,Y)$ 를 만족한다.