[논문 리뷰] Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology of Jacobi manifolds: modular class and duality

Manuel de León, B. López외 2명|ArXiv.org|1999. 10. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 36인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 리 대칭다발의 구조와 해밀토니안 벡터장들을 이용하여 잭비안 다양체의 리클레로비치-자비 코hom로지와 호모로지에 대한 통합적인 프레임워크를 수립한다. 구조의 등각 변환에 대해 불변성을 증명하고, 모듈러 클래스가 0일 때 코호모로지와 호모로지 사이의 쌍대성을 보여주며, 심플렉틱, 컨택트, 리-파우소니안 다양체에 대한 명시적 계산을 수행한다. 이는 컴팩트 리 대칭다발의 쌍대에서의 단위 구를 포함한다.

ABSTRACT

Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology of Jacobi manifolds are reviewed. We present both in a unified approach using the representation of the Lie algebra of functions on itself by means of the hamiltonian vector fields. The use of the associated Lie algebroid allows to prove that the Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology are invariant under conformal changes of the Jacobi structure and to stablish the duality between Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology when the modular class vanishes. We also compute the Lichnerowicz-Jacobi cohomology and homology for a large variety of examples.

연구 동기 및 목표

• 잭비안 다양체에 대해 리 대칭다발과 해밀토니안 벡터장 표현을 이용한 통합적인 코호모로지 이론과 호모로지 이론을 개발하는 것.
• 잭비안 구조의 등각 변환에 대해 리클레로비치-자비 코호모로지와 호모로지의 행동을 분석하는 것.
• 모듈러 클래스가 0일 때 리클레로비치-자비 코호모로지와 호모로지 사이의 쌍대성을 수립하는 것.
• 주요 예시인 심플렉틱, 컨택트, 국소 등각 심플렉틱, 그리고 실 리 대칭다발의 단위 구에 대해 이 코호모로지와 호모로지 군을 명시적으로 계산하는 것.
• 모듈러 클래스가 쌍대성과 불변성 성질을 결정하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 잭비안 다양체 위의 매끄러운 함수의 리 대칭다발을 해밀토니안 벡터장을 통해 표현하여 리클레로비치-자비 코호모로지와 호모로지를 정의한다.
• 관련된 리 대칭다발의 구조를 이용해 잭비안 구조의 등각 변화에 대해 코호모로지와 호모로지의 불변성을 증명한다.
• 셰바레일리-에일렌버그 복합체를 적용하여 전체 복합체의 부분복합체로서 잭비안 다양체에 대한 코호모로지와 호모로지 이론을 유도한다.
• 모듈러 클래스를 이용해 코호모로지와 호모로지 사이의 쌍대성이 언제 성립하는지 판단하며, 특히 그것이 0일 때를 중심으로 다룬다.
• 특정 유형에 대해 코호모로지와 호모로지를 계산한다: 심플렉틱 다양체, 컨택트 다양체, 리-파우소니안 구조, 그리고 컴팩트 리 대칭다발의 쌍대에서의 단위 구.
• 리 대칭다발의 코호모로지와 다양체 위의 불변 함수 대수의 코호모로지 간의 동형사상을 통해 호모로지와 코호모로지 군 간의 관계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잭비안 구조의 등각 변환에 대해 리클레로비치-자비 코호모로지가 어떻게 행동하는가?
• RQ2 리클레로비치-자비 코호모로지와 호모로지 사이의 쌍대성이 언제 성립하는가?
• RQ3 심플렉틱 및 컨택트 다양체에 대해 리클레로비치-자비 코호모로지와 호모로지의 명시적 구조는 무엇인가?
• RQ4 모듈러 클래스는 잭비안 다양체에서 코호모로지와 호모로지 사이의 쌍대성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 컴팩트 리 대칭다발의 쌍대에서의 단위 구에 대한 리클레로비치-자비 호모로지는 무엇이며, 리 대칭다발의 코호모로지와는 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 리클레로비치-자비 코호모로지와 호모로지는 리 대칭다발 프레임워크를 통해 잭비안 구조의 등각 변화에 대해 불변임을 보였다.
• 모듈러 클래스가 0일 때에만 리클레로비치-자비 코호모로지와 호모로지 사이의 쌍대성이 성립한다.
• 컴팩트 리 대칭다발 $ {{g}} $의 단위 구 $ S^{n-1}({{g}}) $에 대해, 호모로지는 $ H_{k}^{LJ}(S^{n-1}({{g}})) \to H^{n-k}({{g}}) \times \text{Inv} $ 를 만족한다. 여기서 $ \text{Inv} $ 는 불변 함수의 대수이다.
• 심플렉틱 다양체 $ (M^{2m}, \bar{\nu}) $ 의 경우, 호모로지는 $ \frac{H_{dR}^{2m+1-k}(M)}{\text{Im}\bar{L}^{2m-k-1}} \times \text{Ker}\bar{L}^{2m-k} $ 와 동형이며, 여기서 $ \bar{L} $ 는 $ [\beta] \to [\beta \times \bar{\nu}] $ 를 작용한다.
• 컨택트 다양체 $ M^{2m+1} $ 의 경우, 리클레로비치-자비 호모로지는 모든 차수에서 0이며, 이는 구조가 비일양모듈러임을 반영한다.
• 평행한 루 1-형식을 가진 국소 등각 심플렉틱 다양체의 경우, 리클레로비치-자비 호모로지는 자명하며, 이는 비영인 모듈러 클래스와 일관된다.