[논문 리뷰] Lie Algebroids over Differentiable Stacks

James Waldron|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 미분 가능 스택 위에서 리 대수다발 이론을 포괄적으로 발전시켜, 매끄러운 다양체 위에서의 고전적 이론을 확장한다. 스택 위에서의 내림림(Descent) 이론을 수립하고, 리 대수다발의 스택을 정의하며, 코homology 이론을 구축하고, $σ$-군oids와의 연결 고리를 마련한다. 핵심 기여는 리 대수다발을 특이적이고 몫 기하학으로 일반화한 완전한 범주론적이고 스택 이론적 공식화이다. 적용 분야로는 접선 스택, 파울리-포아송 기하학, 에테일 스택 위의 표현 등이 있다.

ABSTRACT

We develop a theory of Lie algebroids over differentiable stacks that extends the standard theory of Lie algebroids over manifolds. In particular we show that Lie algebroids satisfy descent for submersions, define the category of Lie algebroids over a differentiable stack, construct a cohomology theory for these objects, and explain the relation to the theory of $\mathcal{LA}$-groupoids. We construct a number of examples.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 다양체 위에서의 고전적 리 대수다발 이론을 미분 가능 스택의 맥락으로 일반화하기 위해.
• 스택 위에서의 리 대수다발을 아틀라스를 통한 당김을 통해 정의하고, 기저 변경과 내림림에 대한 일致성을 확보하기 위해 스펙트럼에 대한 내림림 이론을 수립하기 위해.
• 2-범주론적 및 층 이론적 방법을 사용하여, 표현과 코homology를 포함한 스택 이론적 프레임워크를 정의하기 위해.
• 스택 위의 리 대수다발과 $σ$-군oids 사이의 관계를 명확히 하기 위해, 특히 총 스택 구성에 의해.
• 접선 스택, 에테일 스택 위의 파울리-포아송 기하학, 그리고 자명한 전이 리 대수다발 등의 구체적 예를 제공하기 위해.

제안 방법

• 스택을 다각도의 위에서의 약한 준층으로 간주하기 위해 2-요나다 레마와 그로텐디크 구성법을 사용한다. 이는 스택의 다각도 또는 에테일 사상의 사이트 위에서의 군oids 준층이다.
• 아틀라스를 통한 당김을 통해 스택 $χ$ 위의 리 대수다발을 정의하고, 기저 변경과 내림림에 대한 일致성을 보장한다.
• 스택의 에테일 또는 스퍼미션 사이트 위에서의 층 코homology를 사용하여, 스택 위의 리 대수다발에 대한 드 라무 복합체와 코homology를 구성한다.
• 당김과 기저 변경 형식을 적용하여 표현과 계수를 갖는 코homology를 스택 맥락으로 확장한다.
• 총 스택 구성에 의해, 스택 위의 리 대수다발과 $σ$-군oids 사이의 대응관계를 수립한다. 이는 고전적 리 군oids-리 대수다발 이중성의 일반화이다.
• 특히 작용과 이소트로피 대수다발의 경우, 리 군oids의 분류 스택을 사용하여 스택 위의 리 대수다발을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스택이 다양체가 아니므로, 어떻게 미분 가능 스택 위에서 리 대수다발을 일관적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 고전적 리 대수다발 이론은 스퍼미션에 대해 내림림을 만족하는가? 만약 그렇다면, 이를 범주론적으로 어떻게 형식화할 수 있는가?
• RQ3 스택 위의 리 대수다발에 대한 코homology 이론을 구성할 수 있는가? 이는 리 대수다발의 드 라무 코homology를 일반화하는가?
• RQ4 스택 위의 리 대수다발과 $σ$-군oids 사이의 관계는 무엇이며, 이는 고전적 이중성을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 접선 스택을 통한 파울리-포아송 또는 심플렉틱 기하학 구조는 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 미분 가능 스택 위의 리 대수다발은 스퍼미션에 대해 내림림을 만족하며, 이는 아틀라스 위의 국소 데이터가 일관되게 붙어붙일 수 있음을 의미한다.
• 스택 위의 리 대수다발의 범주가 스택이 되며, 이러한 리 대수다발의 표현 역시 스택이 되어, 전역 코homological 프레임워크를 가능하게 한다.
• 스택 위의 리 대수다발의 드 라무 복합체는 에테일 또는 스퍼미션 사이트 위의 층 코homology를 통해 구성되며, 고전적 드 라무 복합체를 일반화한다.
• 접선 스택 $T\mathfrak{X}$ 는 리 대수다발 $\mathbf{T}\mathfrak{X}$ 와 동형이며, 임의의 미분 가능 스택의 접선 스택에 자연스러운 리 대수다발의 구조를 부여한다.
• 에테일 스택 위의 파울리-포아송 기하학은 코접선 다발 위의 리 대수다발의 구조로 특징지어지며, 총 스택 구성에 의해 관련된 $\mathcal{LA}$-군oids 가 유도된다.
• 스택 $\mathfrak{X}$ 위의 자명한 전이 리 대수다발은 $\underline{\mathfrak{g}} \oplus \mathbf{T}\mathfrak{X}$ 와 동형이며, 여기서 $\mathfrak{g}$ 는 리 대수이고 $\underline{\mathfrak{g}}$ 는 상수 리 대수다발이다.