[논문 리뷰] String topology for stacks

Kai Behrend, Rafael J. L. Morcillo외 2명|arXiv (Cornell University)|2007. 12. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 62인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 위상적 스택에 대한 이변량 이론을 수립하여, 미분 가능 스택 위의 스트링 토폴로지에 대한 통합된 프레임워크를 제공한다. 정렬된 스택을 도입하고, 자유 루프 스택과 숨겨진 루프 스택(인ertia 스택)이 자연스러운 준동형사상에 의해 연결된 프로베누스 대수적 구조를 지닌다고 증명하며, 자유 루프 스택 호모로지가 호모로지적 공형장이론과 호환되는 BV-대수적 구조를 지닌다고 보여준다. 이는 체인-루안 오비폴드 코homology와 교차 쌍대를 일반화한다.

ABSTRACT

We establish the general machinery of string topology for differentiable stacks. This machinery allows us to treat on an equal footing free loops in stacks and hidden loops. In particular, we give a good notion of a free loop stack, and of a mapping stack $\map(Y,\XX)$, where $Y$ is a compact space and $\XX$ a topological stack, which is functorial both in $\XX$ and $Y$ and behaves well enough with respect to pushouts. We also construct a bivariant (in the sense of Fulton and MacPherson) theory for topological stacks: it gives us a flexible theory of Gysin maps which are automatically compatible with pullback, pushforward and products. Further we prove an excess formula in this context. We introduce oriented stacks, generalizing oriented manifolds, which are stacks on which we can do string topology. We prove that the homology of the free loop stack of an oriented stack and the homology of hidden loops (sometimes called ghost loops) are a Frobenius algebra which are related by a natural morphism of Frobenius algebras. We also prove that the homology of free loop stack has a natural structure of a BV-algebra, which together with the Frobenius structure fits into an homological conformal field theories with closed positive boundaries. Using our general machinery, we construct an intersection pairing for (non necessarily compact) almost complex orbifolds which is in the same relation to the intersection pairing for manifolds as Chen-Ruan orbifold cup-product is to ordinary cup-product of manifolds. We show that the hidden loop product of almost complex is isomorphic to the orbifold intersection pairing twisted by a canonical class. Finally we gave some examples including the case of the classifying stacks $[*/G]$ of a compact Lie group.

연구 동기 및 목표

• 이전에 오목한 다양체에서만 정의된 스트링 토폴로지를, 오비폴드와 분류 스택을 포함한 미분 가능 스택으로 일반화하기 위해.
• Gysin 사상, 당김, 밀림, 곱셈이 완전히 호환되는 이론적 기반을 제공하는, 위상적 스택에 대한 이변량 이론을 개발하기 위해.
• 오목한 다양체의 일반화로서 정렬된 스택을 정의하고, 스트링 토폴로지 구성이 가능하도록 하기 위해.
• 자유 루프 스택과 숨겨진 루프 스택(인ertia 스택)의 호모로지 사이에 자연스러운 준동형사상이 존재함을 증명하고, 이들이 프로베누스 대수를 이룬다는 것을 보여주기 위해.
• 기하학적 복소 오비폴드에 대한 오비폴드 교차 쌍대를 구성하고, 이가 체인-루안 쿠퍼 곱을 일반화하며, 자연스러운 변형을 통해 숨겨진 루프 곱과 관련됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• Fulton-MacPherson의 프레임워크를 사용하여, 독립적인 당김과 제한된 밀림에 대해 정의된 이변량 군과 연산을 포함하는 위상적 스택에 대한 이변량 이론을 개발하기 위해.
• 벡터 번들의 Gysin 사상과 초과 공식, 톰 동형사상을 통해 스택 위에서의 Gysin 사상의 구축을 시도하고, 당김 및 곱셈과의 호환성을 확보하기 위해.
• 군족 표현과 사상 스택을 사용하여 자유 루프 스택과 인ertia 스택(숨겨진 루프)을 정의하고, 그들의 호모로지를 프로베누스 대수로 증명하기 위해.
• S^1-작용과 루프 곱을 통해 자유 루프 스택 호모로지가 BV-대수적 구조를 지닌다는 것을 증명하고, 양의 경계를 가진 호모로지적 공형장이론에 적합함을 보여주기 위해.
• 정규로 비특이적인 사상과 접선 번들에 의해 정렬된 스택을 정의하고, 스택으로의 Poincaré 대칭을 일반화하기 위해.
• 이변량 이론을 활용하여 기하학적 복소 오비폴드에 대한 교차 쌍대를 구성하고, 이가 숨겨진 루프 곱에 의해 자연스러운 계수로 변형된 것과 동형임을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스트링 토폴로지 연산—예를 들어 루프 곱과 BV-구조—는 다양체에서부터 미분 가능 스택으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 스택의 자유 루프 스택과 숨겨진 루프 스택(인ertia 스택) 호모로지에 대해 '프로베누스 대수'의 적절한 개념은 무엇인가?
• RQ3 스택에 대한 이변량 이론은 당김과 곱셈과 호환되는 방식으로 Gysin 사상과 초과 공식을 어떻게 지원하는가?
• RQ4 기하학적 복소 오비폴드의 맥락에서 오비폴드 교차 쌍대와 숨겨진 루프 곱 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 스택의 자유 루프 스택 호모로지는 어떻게 닫힌 양의 경계를 가진 호모로지적 공형장이론을 형성하는가?

주요 결과

• 정렬된 스택의 자유 루프 스택 호모로지는 고전적인 다양체에 대한 스트링 토폴로지 결과를 일반화하여 자연스럽게 BV-대수적 구조를 지닌다.
• 자유 루프 스택과 인ertia 스택(숨겨진 루프)의 호모로지는 모두 프로베누스 대수이며, 이들 사이에 프로베누스 구조를 유지하는 자연스러운 준동형사상이 존재한다.
• 기하학적 복소 오비폴드에 대한 오비폴드 교차 쌍대는 자연스러운 계수로 변형된 숨겨진 루프 곱과 동형이며, 체인-루안 쿠퍼 곱을 일반화한다.
• 구축된 이변량 이론은 비콤팩트 또는 비콤팩트 지지 스택일지라도 초과 공식을 완전히 지원하고, 호환되는 Gysin 사상, 당김, 밀림을 제공한다.
• 콤���한 리군 G의 분류 스택 [*/G]에 대해, 자유 루프 스택의 스트링 토폴로지를 계산하고, 이가 G의 호환 코homology와 동형임을 보여주며, BV-구조가 루프 공간의 구조를 반영함을 보여준다.
• 이 이론은 스택에서의 자유 루프와 숨겨진 루프를 통합하며, 숨겨진 루프가 자연스럽게 인ertia 스택으로 나타나며, 그 곱 구조가 오비폴드 교차 쌍대와 쌍대임을 보여준다.