[논문 리뷰] Lie bialgebras and the cyclic homology of $A_\infty$ structures in topology

Xiaojun Chen|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 칼라비-유카이 $A_\infty$ 범주에 대한 순환 코hom로지가 자연스럽게 등장하는 호환되는 리 이중대칭 대수의 구조를 지닌다는 것을 증명한다. 이는 등변 위상적 등각 장 이론에서 유래한다. 논문은 심플렉틱 다양체의 프وك야 범주에 대한 순환 코hom로지에서 접촉형 경계를 지닌 경계의 선형화된 접촉 코hom로지로 가는 리 이중대칭 대수의 준동형을 증명하며, $A_\infty$-범주적이고 비가환 기하학적 방법을 통해 심플렉틱 및 스트링 토폴로지의 구조를 통합한다.

ABSTRACT

$A_\infty$ categories are a mathematical structure that appears in topological field theory, string topology, and symplectic topology. This paper studies the cyclic homology of a Calabi-Yau $A_\infty$ category, and shows that it is naturally an equivariant topological conformal field theory, and in particular, contains an involutive Lie bialgebra. Applications of the theory to string topology and the Fukaya category are given; in particular, it is shown that there is a Lie bialgebra homomorphism from the cyclic cohomology of the Fukaya category of a symplectic manifold with contact type boundary to the linearized contact homology of the boundary.

연구 동기 및 목표

• 칼라비-유카이 $A_\infty$ 범주에 대한 순환 코hom로지가 자연스럽게 호환되는 리 이중대칭 대수의 구조를 지닌다는 것을 증명하는 것.
• 심플렉틱 다양체의 프وك야 범주에 대한 순환 코호모로지와 그 경계의 선형화된 접촉 코호모로지 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• $A_\infty$ 범주와 등변 위상적 등각 장 이론의 프레임워크를 통해 스트링 토폴로지와 심플렉틱 토폴로지의 구조를 통합하는 것.
• 칼라비-유카이 $A_\infty$ 범주에 대한 순환 코호모로지가 등변 위상적 등각 장 이론임을 보여주는 것.

제안 방법

• 칼라비-유카이 $A_\infty$ 범주가 개방-폐쇄 위상적 등각 장 이론(TCFT)을 유도한다는 코스텔로의 결과를 사용하여, 닫힌 상태에 대한 $S^1$-등변 구조를 분석한다.
• 겟즐러의 중력 대수 이론과 등변 TCFT를 적용하여, $S^1$-작용과 그 몫을 통해 순환 코호모로지 위에 리 이중대칭 대수의 구조를 구성한다.
• 유리수 호모토피 이론을 사용하여 단순연결된 컴act 다양체 $M$의 코체인 대수를 $\mathbb{Q}$ 위의 순환 $A_\infty$ 대수로 모델링함으로써 스트링 토폴로지와의 비교를 가능하게 한다.
• 경계 $W$의 선형화된 접촉 코호모로지에서 프وك야 범주에 대한 순환 코호모로지로 가는 체인 수준의 사상 $f$를 $J$-홀로모르픽 곡선의 제거할 수 없는 특이점을 이용하여 구성한다.
• 특이점을 지닌 $J$-홀로모르픽 디스크와 실린더의 1차원 모듈리 공간의 경계를 분석함으로써, $f$가 호모토피 상에서 리 이중대칭 대수 사상임을 보여준다.
• 이 구성은 더 일반적으로 이중리 $\infty$-대수의 사상으로 일반화되며, 심플렉틱 장 이론과 $A_\infty$-범주적 불변량 사이의 깊은 호모토피적 호환성을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼라비-유카이 $A_\infty$ 범주에 대한 순환 코호모로지가 자연스러운 리 이중대칭 대수의 구조를 지니는가?
• RQ2 스트링 토폴로지의 리 이중대칭 대수의 구조는 단순연결된 다양체의 코체인 대수의 유리수 $A_\infty$ 모델의 순환 코호모로지로 모델링될 수 있는가?
• RQ3 심플렉틱 다양체의 경계에 대해 프وك야 범주의 순환 코호모로지에서 선형화된 경계 접촉 코호모로지로 가는 자연스러운 사상이 존재하는가?
• RQ4 순환 코호모로지 위의 TCFT의 $S^1$-등변성은 중력 대수와 리 이중대칭 대수의 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 접촉 코호모로지에서 프وك야 범주의 순환 코호모로지로 가는 사상 $f$가 호모로지 상에서 동형사상으로 유도되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 칼라비-유카이 $A_\infty$ 범주에 대한 순환 코호모로지는 자연스럽게 미분가환 호환 리 이중대칭 대수의 구조를 지닌다는 것이 입증되었다.
• 이러한 범주의 순환 코호모로지는 등변 위상적 등각 장 이론이며, 게틀러의 중력 대수를 리 이중대칭 대수 수준으로 일반화한다.
• 단순연결된 컴팩트 다양체 $M$에 대해, 그 코체인 대수의 유리수 $A_\infty$ 모델에 대한 순환 코호모로지는 자유 루프 공간의 등변 호모로지 위에 채스-설리반 리 이중대수의 구조를 실현한다.
• 심플렉틱 다양체의 경계가 접촉형일 때, 프وك야 범주의 순환 코호모로지에서 경계의 선형화된 접촉 코호모로지로 가는 리 이중대칭 대수 준동형사상이 존재한다.
• 선형화된 접촉 코호모로지에서 프وك야 범주의 순환 코호모로지로 가는 사상 $f$는 $J$-홀로모르픽 곡선의 1차원 모듈리 공간의 경계를 분석함으로써, 호모토피 상에서 리 이중대칭 대수 사상임을 보였다.
• 이 구성은 $f$가 이중리 $\infty$-대수의 사상으로 확장될 수 있음을 시사하며, 심플렉틱 장 이론과 $A_\infty$-범주적 불변량 사이의 더 깊은 호모토피적 관계를 나타낸다.