[논문 리뷰] Limit order books, diffusion approximations and reflected SPDEs: from microscopic to macroscopic models

Ben Hambly, Jasdeep Kalsi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 21.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확산 근사법을 통해 미시적 지정가 주문서 역학에서 거시적 스토크라스틱 편미분방정식(SPDE)에 이르는 엄밀한 수학적 다리를 구축하며, 고빈도 주문서 행동이 척도 한계 하에서 반사 SPDE로 수렴함을 보여준다. 주요 기여는 스타일라이즈드 마켓 특성을 포착하고 실행 전략 테스트를 위한 시뮬레이션을 가능하게 하는 확률적 거시적 모델이다.

ABSTRACT

Motivated by a zero-intelligence approach, the aim of this paper is to connect the microscopic (discrete price and volume), mesoscopic (discrete price and continuous volume) and macroscopic (continuous price and volume) frameworks for the modelling of limit order books, with a view to providing a natural probabilistic description of their behaviour in a high to ultra high-frequency setting. Starting with a microscopic framework, we first examine the limiting behaviour of the order book process when order arrival and cancellation rates are sent to infinity and when volumes are considered to be of infinitesimal size. We then consider the transition between this mesoscopic model and a macroscopic model for the limit order book, obtained by letting the tick size tend to zero. The macroscopic limit can then be described using reflected SPDEs which typically arise in stochastic interface models. We then use financial data to discuss a possible calibration procedure for the model and illustrate numerically how it can reproduce observed behaviour of prices. This could then be used as a market simulator for short-term price prediction or for testing optimal execution strategies.

연구 동기 및 목표

• 지정가 주문서의 미시적, 중간계, 거시적 모델을 제로-지능 프레임워크 아래 통합하기 위해.
• 주문 도착 및 취소 속도가 무한대에 가까워질 때 주문서 과정의 연속시간 극한을 유도하기 위해.
• 거시적 극한이 반사 SPDE로 기술됨을 보여주어 시장 마이크로구조와 스토크라스틱 인터페이스 모델을 연결하기 위해.
• 실제 금융 데이터를 사용한 캘리브레이션 절차를 제공하여 실용적인 시장 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해.
• 검증된 모델을 통해 단기 가격 예측과 최적의 실행 전략 백테스트를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 이산 가격 수준과 무한소 주문량을 갖는 미시적 모델을 사용한 후, 도착 및 취소 속도를 무한대까지 확장한다.
• 기능 중심 극한정리(함수 중심 중심극한정리)를 적용하여 연속된 볼륨과 이산적 가격을 갖는 중간계 모델을 도출한다.
• 틱 크기가 0으로 수렴할 때의 추가 극한을 취하여 연속된 가격과 볼륨 프레임워크로 이어진다.
• 공간-시간 화이트 노이즈에 의해 구동되는 반사 스토크라스틱 PDE 시스템으로 거시적 극한을 도출한다.
• 스코로호드 표현과 약한 수렴 기법을 사용하여 스케일된 과정의 수렴을 증명한다.
• 실제 금융 데이터를 사용하여 모델을 캘리브레이션하고 관측된 가격 역학과의 수치적 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고빈도 척도에서 이격된 가격과 볼륨 프레임워크로의 주문서 과정이 어떻게 수렴하는가?
• RQ2 틱 크기와 주문량이 0으로 수렴할 때 주문서의 극한 SPDE 기술은 무엇인가?
• RQ3 거시적 SPDE 모델은 관측된 가격 형성 및 주문 유동성의 스타일라이즈드 사실을 재현할 수 있는가?
• RQ4 실제 시장 데이터에 모델을 어떻게 캘리브레이션하여 실용적인 시장 시뮬레이션에 사용할 수 있는가?
• RQ5 스토크라스틱 인터페이스 이론에서 주문서 역학과 반사 SPDE 사이의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 고빈도 주문 도착 및 취소 척도에서 주문서 과정의 중간계 극한은 연속된 가격 수준에서 결합된 SDE 시스템으로 수렴한다.
• 거시적 극한은 반사 SPDE로 기술되며, 이는 자연스럽게 스토크라스틱 인터페이스 모델에서 나타나며 주문서의 음수 불가능성과 경계 행동을 포착한다.
• 스케일된 미시적 과정이 거시적 SPDE 모델로 수렴하는 것은 카드라그 경로의 공간에서 법의 관점에서 확립된다.
• 모델은 실질적인 금융 데이터에 캘리브레이션 가능하여 관측된 가격 역학과 시장 마이크로구조 특성을 수치적으로 재현할 수 있다.
• 결과로 도출된 SPDE 모델은 단기 가격 예측과 최적의 실행 전략 테스트를 위한 유효한 시장 시뮬레이터로 기능한다.
• 수렴 결과는 차단된 과정의 함수 공간에서 스코로호드 표현과 연속성 논증을 사용하여 증명된다.