[논문 리뷰] Limit theorems for stationary increments Lévy driven moving averages

Andreas Basse-O’Connor, Raphaël Lachièze-Rey외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 22.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고주파 수확 조건 하에서 정 stationarity increments Lévy-driven moving average 과정의 k차 증분에 대한 파wr 변량의 극한 정리들을 수립한다. 주요 기여는 증분 차수 k, 거듭제곱 p, Lévy 과정의 Blumenthal–Getoor 지수 β, 그리고 커널 함수 g의 영점에서의 국소적 행동 α 간의 상호작용에 따라, 안정 수렴, 에르고딕 타입의 극한, 또는 확률에 의한 수렴이라는 세 가지 다른 수렴 방식으로 나뉘는 새로운 분류 체계를 제시하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we present some new limit theorems for power variation of $k$th order increments of stationary increments Lévy driven moving averages. In this infill sampling setting, the asymptotic theory gives very surprising results, which (partially) have no counterpart in the theory of discrete moving averages. More specifically, we will show that the first order limit theorems and the mode of convergence strongly depend on the interplay between the given order of the increments, the considered power $p>0$, the Blumenthal-Getoor index $β\in (0,2)$ of the driving pure jump Lévy process $L$ and the behaviour of the kernel function $g$ at $0$ determined by the power $α$. First order asymptotic theory essentially comprise three cases: stable convergence towards a certain infinitely divisible distribution, an ergodic type limit theorem and convergence in probability towards an integrated random process. We also prove the second order limit theorem connected to the ergodic type result. When the driving Lévy process $L$ is a symmetric $β$-stable process we obtain two different limits: a central limit theorem and convergence in distribution towards a $(1-α)β$-stable random variable.

연구 동기 및 목표

• 고주파 수확 조건 하에서 정 stationarity increments Lévy-driven moving average 과정의 k차 증분에 대한 파wr 변량에 대한 종합적인 점근 이론을 개발하기 위해.
• 한계 분포와 수렴 방식이 커널의 국소적 행동(α), Lévy 과정의 Blumenthal–Getoor 지수(β), 거듭제곱 p, 증분 차수 k에 어떻게 의존하는지 기술하기 위해.
• 1차 및 2차 극한 정리, 특히 대칭 β-안정 Lévy 과정에 대해 중심극한정리와 안정 수렴을 포함하여 수립하기 위해.
• 기존의 분수 Lévy 과정과 Lévy semi-stationary 과정에 대한 파wr 변량 이론을 통합하여 고주파 점근 이론에 대한 통합 프레임워크를 제공함으로써 확장하기 위해.
• 이러한 moving average로 구성된 확률과정에서 미지의 매개변수 α와 β에 대한 통계적 추론을 위한 이론적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 이웃한 수확 점에서의 X 값에 대한 선형 조합을 사용하여 k차 증분 Δⁿᵢ,ₖX를 정의하고, 이에 이차계수를 적용한다.
• p > 0에 대해 파wr 변량 기능 V(p;k)ₙ = ∑ᵢ₌ₖⁿ |Δⁿᵢ,ₖX|ᵖ를 정의하고, 수확 주파수가 증가함에 따라 그 점근적 행동을 분석한다.
• 커널 g(t) ∼ c₀tᵃ (t↓0)의 정규화 조건과 Lévy 측도 및 g−g₀의 적분 가능성 조건을 명시하는 가정 (A) 하에서 점근적 결과를 수립한다.
• 특히 Lévy 과정의 Blumenthal–Getoor 지수 β의 역할을 중심으로, 확률적 적분과 카오스 전개 기법을 사용하여 극한 행동을 분석한다.
• 모멘트 추정과 커널 및 Lévy 밀도를 포함하는 적분에 대한 경계를 적용하여 모멘트 수렴을 통제하고, 컴팩트성(tightness)을 확보한다.
• 에르고딕 타입 수렴의 경우를 대상으로 정밀한 점근 전개와 모멘트 수렴 논증을 사용하여 2차 극한 정리를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파wr 변량 V(p;k)ₙ의 점근적 행동은 증분 차수 k, 거듭제곱 p, 주행 Lévy 과정의 Blumenthal–Getoor 지수 β, 커널 함수 g의 국소적 행동 α 간의 상호작용에 따라 어떻게 달라지나?
• RQ2 고주파 수확 한계에서 정규화된 파wr 변량의 가능한 수렴 방식(안정 수렴, 확률 수렴, 에르고딕 타입 수렴)은 무엇인가?
• RQ3 주행 Lévy 과정이 대칭 β-안정일 경우의 한계 분포는 무엇이며, 비안정 경우와 어떻게 다를까?
• RQ4 에르고딕 타입 수렴 영역에 대해 2차 극한 정리를 수립할 수 있으며, 이는 변동 스케일에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ5 고전적 이산 moving average 이론과 비교할 때 결과는 어떻게 다를지, 그리고 연속시간 고주파 설정에서 새로운 현상은 무엇인가?

주요 결과

• 1차 극한 정리에서는 세 가지 명백한 영역이 나타나며, 각각 무한가역 분포로의 안정 수렴, 에르고딕 타입 수렴, 그리고 통합된 랜덤 과정로의 확률 수렴이다.
• 대칭 β-안정 Lévy 과정의 경우, 파wr 변량은 두 가지의 구분된 극한을 보이며, 중심극한정리와 (1−α)β-안정 랜덤 변수로의 수렴 분포이다.
• 수렴 방식과 한계 분포는 α, β, p, k 간의 관계에 따라 결정되며, 이들 매개변수의 임계 값에서 단계 전이가 발생한다.
• 에르고딕 타입 수렴의 경우 2차 극한 이론이 수립되었으며, 이는 변동 스케일이 n⁻¹/²의 순서이며 정규 분포로 수렴함을 보여준다.
• 결과는 이산 moving average 이론에 존재하지 않는 새로운 점근적 현상을 드러내며, 특히 안정 수렴 영역과 비정규 한계 분포의 출현이 두드러진다.
• 커널의 영점에서의 정규화 조건(g(t) ∼ c₀tᵃ)과 Lévy 과정의 Blumenthal–Getoor 지수 β가 함께 수렴 속도와 한계 분포를 결정하며, α와 β는 척도화와 안정성에 이중적인 역할을 한다.