[논문 리뷰] Limit theorems for sums of products of consecutive partial quotients of continued fractions

Hui Hu, Mumtaz Hussain외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속 분수 전개에서 연속적인 부분몫의 곱의 합 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x)에 대한 약법 및 강법의 대수의 법칙을 수립한다. Sn(x)/(n log²n)이 측도에서 수렴하고 거의 확실히 1/(2 log 2)로 수렴함을 증명하며, 다양한 함수 φ에 대해 수준집합 E(φ) = {x : lim Sn(x)/φ(n) = 1}의 하우스도르프 차원을 결정한다. 이는 φ(n) = eⁿᵞ 이며 0 < γ < 1/2일 때 차원이 1임을, φ(n) = e^{αn} 이며 α > 1일 때 차원이 1/(1+α)임을, φ(n) = eⁿᵞ 이며 γ ≥ 1/2일 때 차원이 1/2임을 보여준다.

ABSTRACT

Let $[a_1(x),a_2(x),\ldots, a_n(x), \ldots]$ be the continued fraction expansion of an irrational number $x\in (0, 1)$. The study of the growth rate of the product of consecutive partial quotients $a_n(x)a_{n+1}(x)$ is associated with the improvements to Dirichlet's theorem (1842). We establish both the weak and strong laws of large numbers for the partial sums $S_n(x)= \sum_{i=1}^n a_i(x)a_{i+1}(x)$ as well as, from a multifractal analysis point of view, investigate its increasing rate. Specifically, we prove the following results: \medskip \begin{itemize} \item For any $\epsilon>0$, the Lebesgue measure of the set $$\left\{x\in(0, 1): \left|\frac{ S_n(x)}{n\log^2 n}-\frac1{2\log2} ight|\geq \epsilon ight\}$$tends to zero as $n$ to infinity. \item For Lebesgue almost all $x\in (0,1)$, $$\lim\limits_{n ightarrow \infty} \frac{S_n(x)-\max\limits_{1\leq i \leq n}a_i(x)a_{i+1}(x)}{n\log^2n}=\frac{1}{2\log2}.$$ \item The Hausdorff dimension of the set $$E(\phi):=\left\{x\in(0,1):\lim\limits_{n ightarrow \infty}\frac{S_n(x)}{\phi(n)}=1 ight\}$$ is determined for a range of increasing functions $\phi: \mathbb N o \mathbb R^+$. \end{itemize}

연구 동기 및 목표

• x ∈ (0,1)의 연속 분수 전개에서 연속적인 부분몫의 곱의 합 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x)에 대한 약법 및 강법의 대수의 법칙을 수립하기 위해.
• 하우스도르프 차원을 활용한 다중분수 및 분수기하학적 관점에서 Sn(x)의 증가 속도를 분석하기 위해.
• 다양한 증가하는 함수 φ에 대해 수준집합 E(φ) = {x ∈ (0,1) : limₙ→∞ Sn(x)/φ(n) = 1}의 하우스도르프 차원을 결정하기 위해.
• 디리클레의 근사정리 향상에 기인하여 부분몫의 합에서 곱의 합으로의 고전 결과의 확장하기 위해.

제안 방법

• 비유계 관측량 Ψ(x) = a₁(x)a₂(x)의 에르고딕 합으로서 Sn(x)을 분석하는 데 있어 에르고딕 이론 및 무한 측도 이론 기법의 사용.
• 연속 분수 역학을 모델링하고 부분몫 aₙ(x) = a₁(Tⁿ⁻¹(x))를 정의하기 위해 가우스 사상 T(x) = {1/x}의 적용.
• ai(x)ai₊₁(x) > Φ(n)이 무한히 자주 발생하는 집합의 르베그 측도를 분석하기 위해 log Φ(n)/Φ(n)을 포함하는 급수의 수렴 기준 및 보렐-칸텔레 보조정리의 적용.
• dyadic 간격을 통해 칸토어 유형의 부분집합을 구성하고, ψ(n) 함수를 이용한 간격 길이의 정밀한 제어를 통해 하우스도르프 차원을 추정하기 위해.
• δ(n) = #{(a,b) : ab = n} 및 그 유계 δ(n) ≤ c_ε n^ε를 이용해 ab = m인 쌍 (a,b)의 수를 제어하기 위해.
• 정수 분할에 대한 합계를 다루는 [21]의 보조정리 5.5를 활용해 수준집합의 s차원 하우스도르프 측도를 추정하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n → ∞ 일 때, 합 Sn(x) = Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x)의 거의 확실한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ2 수준집합 E(φ) = {x : limₙ→∞ Sn(x)/φ(n) = 1}이 양의 하우스도르프 차원을 가지기 위한 함수 φ는 무엇인가?
• RQ3 φ(n)의 증가 속도에 따라 E(φ)의 하우스도르프 차원은 어떻게 변하는가? 특히 φ(n) = eⁿᵞ 또는 φ(n) = e^{αn}일 경우에 대해.
• RQ4 합 Sn(x)은 거의 확실히 유한한 비영인 상수로 수렴하도록 정규화할 수 있는가? 만약 가능하다면 적절한 정규화는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 ε > 0에 대해, {x ∈ (0,1) : |Sn(x)/(n log²n) − 1/(2 log 2)| ≥ ε}의 르베그 측도는 n → ∞ 일 때 0으로 수렴한다. 이는 약법의 대수의 법칙을 수립함을 의미한다.
• 모든 x ∈ (0,1)에 대해 거의 확실히, limₙ→∞ (Sn(x) − max₁≤ᵢ≤ₙ aᵢ(x)aᵢ₊₁(x)) / (n log²n) = 1/(2 log 2) 이다. 이는 가장 큰 항을 제거한 후 강법의 대수의 법칙이 성립함을 증명한다.
• φ(n) = eⁿᵞ 이며 0 < γ < 1/2 이면, dimₕ E(φ) = 1 이다.
• φ(n) = e^{αn} 이며 α > 1 이면, dimₕ E(φ) = 1/(1 + α) 이다.
• φ(n) = eⁿᵞ 이며 γ ≥ 1/2 이면, dimₕ E(φ) = 1/2 이다.
• φ(n) = eⁿᵞ 이며 γ = 1/2 에서 φ ↦ dimₕ E(φ)는 불연속적이며, 이는 수준집합의 분수기하학적 구조에서의 단계 전이를 반영한다.