[논문 리뷰] Limits of bimorphic lenses

Jules Hedges|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 16.

Artificial Intelligence in Games참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기저 범주가 완비, 충만하고 카르테시안 닫힘일 경우 이중형 렌즈의 범주가 완비임을 확립하며, 대칭 다형 렌즈의 기초로 이중형 렌즈의 스펜을 구성할 수 있게 한다. 주요 기여는 기저 범주에서의 필드와 쇄내를 사용하여 이중형 렌즈의 범주에서 필드를 형식적으로 구성한 것으로, 이는 구성적 게임 이론에서 개방 게임을 위한 컴act 닫힘 범주 개발을 지원한다.

ABSTRACT

Bimorphic lenses are a simplification of polymorphic lenses that (like polymorphic lenses) have a type defined by 4 parameters, but which are defined in a monomorphic type system (i.e. an ordinary category with finite products). We show that the category of bimorphic lenses is complete when the base category is complete, cocomplete and cartesian closed, and so symmetric bimorphic lenses can be defined as spans of ordinary bimorphic lenses. This is in contrast to monomorphic lenses, which do not have pullbacks, and for which the category of spans can be defined in an ad-hoc way only when the lenses satisfy a certain axiom (the put-get law). This is a step towards a theory of symmetric polymorphic lenses. Bimorphic lenses additionally play an essential role in compositional game theory, and spans of bimorphic lenses are a step towards a compact closed category of open games.

연구 동기 및 목표

• 기저 범주에 적절한 조건이 만족될 경우 이중형 렌즈의 범주가 완비임을 입증하는 것.
• 이중형 렌즈의 스펜을 구성하여 대칭 다형 렌즈의 범주론적 기초를 제공하는 것.
• 구성적 게임 이론에서 개방 게임을 위한 컴 pact 닫힘 범주 개발을 위해 이중형 렌즈를 활용하는 것.
• 단형 렌즈와 다형 렌즈 사이의 다리를 놓기 위해 단형 유형 체계 내에서 중간 단계로 이중형 렌즈를 도입하는 것.
• 게임이론적 의미론과 향후 다형 렌즈 이론에 대한 향후 연구에서 이중형 렌즈의 역할을 형식화하는 것.

제안 방법

• 유한 곱을 갖는 범주 $ \mathcal{C} $에서 두 개의 사상인 시각 함수 $ v_\lambda: S \to A $와 업데이트 함수 $ u_\lambda: S \times B \to T $의 쌍으로서 이중형 렌즈를 정의한다.
• 객체의 쌍을 유형으로, 이중형 렌즈를 사상으로 갖는 범주 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $를 구성한다.
• 기저 범주 $ \mathcal{C} $가 완비, 충만하고 카르테시안 닫힐 경우 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $가 완비임을 증명한다.
• 기저 범주 $ \mathcal{C} $에서의 시각 성분에 대한 필드와 업데이트 성분에 대한 쇄내를 사용하여 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $에서의 필드를 구성한다.
• 스팬을 필드에 의존하는 구성으로 정의하여 대칭적 합성을 가능하게 한다.
• 필드와 쇄내의 보편 성질을 사용하여 유도된 렌즈의 유일성과 구조의 가환성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 범주에 합리적인 조건이 만족될 경우 이중형 렌즈의 범주가 완비임을 입증할 수 있는가?
• RQ2 대칭적 합성과 컴 pact 닫힘 구조를 지원할 수 있도록 이중형 렌즈의 스펜을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 이중형 렌즈는 대칭 다형 렌즈 이론의 구현에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이중형 렌즈는 구성적 게임 이론에서 개방 게임을 위한 컴 pact 닫힘 범주 개발을 어떻게 지원하는가?
• RQ5 이중형 렌즈의 범주에서 스펜을 정의하는 데 필요한 필수 및 충분한 범주론적 구성(예: 필드, 쇄내)은 무엇인가?

주요 결과

• 기저 범주 $ \mathcal{C} $가 완비, 충만하고 카르테시안 닫힐 경우 이중형 렌즈의 범주 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $는 완비이다.
• 기저 범주 $ \mathcal{C} $에서의 시각 사상에 대한 필드와 업데이트 사상에 대한 쇄내를 사용하여 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $에서의 필드를 구성한다.
• 코스펜 $ \lambda: \binom{S}{T} \to \binom{A}{B} \leftarrow \binom{S'}{T'}: \lambda' $의 필드는 $ \binom{S \times_A S'}{T +_{(S \times_A S') \times B} T'} $로 주어지며, 여기서 $ S \times_A S' $는 $ v_\lambda $와 $ v_{\lambda'} $의 필드이고, 두 번째 성분은 쇄내이다.
• 필드의 보편 성질은 유도된 렌즈의 유일성을 보장하며, 시각 및 업데이트 사상은 보편 사상과 쌍대극한 보존을 통해 구성된다.
• 범주론적으로 잘 정의된 $ \mathbf{Bilens}(\mathcal{C}) $에서의 스펜 구성은 단형 렌즈 범주에서 사용된 특수한 정의를 피한다.
• 이 결과는 개방 게임의 컴 pact 닫힘 범주를 스펜을 통해 구성하는 장기적 목표를 지원한다.