[논문 리뷰] Limits of permutation sequences

Carlos Hoppen, Yoshiharu Kohayakawa외 3명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 30.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 수렴하는 순열 시퀀스에 대한 극한 이론을 제안하며, 자연스러운 극한 대상으로 Lebesgue 가측 함수 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $를 도입한다. 이 함수는 누적분포 및 질량 조건을 만족한다. 핵심 결과는 모든 수렴하는 순열 시퀀스가 이 클래스 내에서 유일한 극한을 가지며, 수렴은 부분순열 밀도의 수렴으로 특징지어진다는 것이다.

ABSTRACT

A permutation sequence is said to be convergent if the density of occurrences of every fixed permutation in the elements of the sequence converges. We prove that such a convergent sequence has a natural limit object, namely a Lebesgue measurable function $Z:[0,1]^2 o [0,1]$ with the additional properties that, for every fixed $x \in [0,1]$, the restriction $Z(x,\cdot)$ is a cumulative distribution function and, for every $y \in [0,1]$, the restriction $Z(\cdot,y)$ satisfies a "mass" condition. This limit process is well-behaved: every function in the class of limit objects is a limit of some permutation sequence, and two of these functions are limits of the same sequence if and only if they are equal almost everywhere. An ingredient in the proofs is a new model of random permutations, which generalizes previous models and might be interesting for its own sake.

연구 동기 및 목표

• 수렴하는 순열 시퀀스의 개념을 부분순열 밀도의 극한에 기반하여 정의한다.
• 그래프 이론에서의 그래프온과 유사하게, 이러한 수렴하는 시퀀스에 대한 표준 극한 대상을 규명한다.
• 수렴하는 순열 시퀀스와 특정 가측 함수 클래스 내의 극한 함수 사이의 일대일 대응을 수립한다.
• 극한 대상이 거의 어디에서나 유일하며, 이러한 모든 함수가 어떤 순열 시퀀스의 극한으로 나타남을 증명한다.
• 극한 함수로의 거의 확실한 수렴을 지원하는 새로운 랜덤 순열 모델을 개발한다.

제안 방법

• 모든 고정된 부분순열 $ \tau $에 대해 밀도가 $ n \to \infty $일 때 수렴함을 요구함으로써 순열 시퀀스 $ (\sigma_n) $의 수렴을 정의한다.
• 극한 대상 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $를 Lebesgue 가측 함수로 도입하며, 각 $ x $에 대해 $ Z(x,\cdot) $는 누적분포함수이며, $ Z(\cdot,y) $는 질량 조건을 만족한다.
• 각 순열 시퀀스 $ \sigma_n $이 $ Z $와 관련된 i.i.d. $[0,1]^2$-값을 가진 랜덤 변수 $ (X_n, Y_n) $를 기반으로 하여, 순서가 정렬된 $ X_i $에 따라 $ Y_i $들의 상대적 순서로 정의된다.
• U-통계량에 대한 강한 대수법칙을 사용하여 부분순열 밀도 $ t(\tau, \sigma_n) $가 거의 확실하게 $ t(\tau, Z) $로 수렴함을 보인다.
• $ L_\infty $에서의 함수 $ Z_n $의 수렴과 $ d_\square $-노름에서의 수렴이 동치임을 보이며, $ L_\infty $의 완비성에 기반한다.
• 수렴하는 순열 시퀀스와 그 극한 함수의 수렴 간의 동치성을 $ t $-수렴과 $ \square $-노름 위상에 의해 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수렴하는 순열 시퀀스에 대한 자연스러운 극한 대상은 그래프 이론에서의 그래프온과 유사하게 무엇인가?
• RQ2 부분순열 밀도에 관해 순열 시퀀스의 수렴을 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ3 누적분포 및 질량 조건을 만족하는 모든 가측 함수 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $는 어떤 순열 시퀀스의 극한인가?
• RQ4 두 극한 함수가 동일한 순열 시퀀스의 극한을 나타내기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 주어진 극한 함수 $ Z $로 거의 확실하게 수렴하는 랜덤 순열 시퀀스를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 수렴하는 순열 시퀀스는 유일한 극한 대상 $ Z $를 가지며, 이는 Lebesgue 가측 함수 $ Z:[0,1]^2 \to [0,1] $로서, 각 $ x \in [0,1] $에 대해 $ Z(x,\cdot) $가 누적분포함수이며, $ Z(\cdot,y) $가 질량 조건을 만족한다.
• 극한 대상 $ Z $는 거의 어디에서나 유일하다: 두 시퀀스가 $ Z_1 $과 $ Z_2 $로 수렴하면, 거의 어디에서나 $ Z_1 = Z_2 $이다.
• 이러한 극한 대상의 클래스 $ \mathcal{Z} $에 속하는 모든 함수 $ Z $는 어떤 순열 시퀀스의 극한이다.
• 순열 시퀀스 $ (\sigma_n) $가 $ Z $로 수렴하는 것과 관련 함수 $ Z_n = Z_{\sigma_n} $가 $ L_\infty $-노름에서 수렴하는 것은 동치이다.
• i.i.d. $[0,1]^2$-값을 가진 변수 $ (X_i, Y_i) $를 $ Z $와 연결하여 정의된 랜덤 순열 모델은 시퀀스 $ (\sigma_n) $가 거의 확실하게 $ Z $로 수렴한다.
• 순열 시퀀스 $ \sigma_n $이 $ Z $로 수렴하는 것은 $ Z_n \to Z $의 $ \square $-노름 수렴과 동치이며, 이는 모든 고정된 $ \tau \in \mathcal{S} $에 대해 $ t(\tau, \sigma_n) \to t(\tau, Z) $임과 동치이다.