[논문 리뷰] Limits on Efficient Computation in the Physical World

Scott Aaronson|ArXiv.org|2004. 12. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 213인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 충돌 문제, 국소 검색, 그래프 동형성과 같은 핵심 문제에 대해 쿼리 복잡도의 강력한 하한을 증명함으로써 양자 계산의 기본 한계를 확립한다. 이는 양자 조언을 포함하더라도 양자 알고리즘이 NP-완전 문제를 효율적으로 해결할 수 없음을 보여주며, 또한 양자 상태의 복잡도 이론적 분류를 도입하고, 후행 선택 또는 역사 샘플링 모델이 PP를 초월한 초양자 계산 능력을 제공하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

More than a speculative technology, quantum computing seems to challenge our most basic intuitions about how the physical world should behave. In this thesis I show that, while some intuitions from classical computer science must be jettisoned in the light of modern physics, many others emerge nearly unscathed; and I use powerful tools from computational complexity theory to help determine which are which.

연구 동기 및 목표

• 충돌 문제 및 국소 검색과 같은 기본 문제에 대해 쿼리 복잡도의 강력한 하한을 증명함으로써 양자 계산의 한계를 엄밀히 규명하는 것.
• 비균일한 양자 조언 상태를 사용하더라도 양자 컴퓨터가 NP-완전 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있는지 여부를 조사하는 것.
• 양자 계산의 물리적 실현 가능성에 대한 의심을 해결하기 위해 양자 상태의 복잡도 이론적 분류를 개발하는 것.
• 표준 양자 계산을 초월하는 모델—예를 들어 후행 선택이나 숨겨진 변수 역사 샘플링을 允허하는 모델—이 알려진 복잡도 클래스를 초월한 계산적 이점을 제공하는지 분석하는 것.
• 빛의 유한한 속도와 국소성 원리가 공간 검색에서 그로버 알고리즘의 제곱근 속도 향상이 유지되는지 여부를 규명하는 것.

제안 방법

• 관계적 적대자 방법과 이원다항식 차수 하한으로 충돌 문제에 대해 Ω(n^{1/5}) 쿼리의 하한을 증명함.
• 트레이스 거리 방법과 직접 곱 정리들을 적용하여 양자 조언을 사용한 양자 검색을 분석하고, 고전적 오라클을 사용해 양자 메시지를 시뮬레이션함.
• 물리적으로 실현 가능한 양자 상태와 쇼어 알고리즘의 상태를 복잡도 분류 기반으로 구분하는 'Sure/Shor 분리자'의 개념을 도입함.
• 오라클을 사용한 양자 블랙박스 모델을 활용하여 양자 복잡도 클래스를 분리하고, 후행 선택을 통해 PostBQP = PP임을 증명함.
• 암함수 증폭과 국소성 기준을 사용하여 그래프 및 격자에서의 공간 검색을 모델링하고, 2차원 공간 영역에서도 그로버의 속도 향상이 유지됨을 증명함.
• 무작위성과 강건성의 공리에 기반한 숨겨진 변수 이론(예: 유량 이론 및 쇼르드 이론)을 정의하고 분석하며, 그들의 계산 복잡도를 연구함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충돌 문제를 해결하기 위해 양자 알고리즘이 필요한 최소 쿼리 수는 얼마이며, 이는 상수 하한을 초월해 향상될 수 있는가?
• RQ2 비균일한 양자 조언 상태를 도와받는 양자 컴퓨터가 NP-완전 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ3 예를 들어 'Sure/Shor 분리자'와 같은 복잡도 이론적 기준이 큰 규모의 양자 알고리즘에 있는 상태와 물리적으로 실현 가능한 상태를 구분할 수 있는가?
• RQ4 빛의 유한한 속도 또는 공간 국소성이 공간 데이터베이스 검색에서 그로버 알고리즘의 제곱근 속도 향상에 영향을 미치는가?
• RQ5 전체 숨겨진 변수 역사 샘플링을 允허하는 모델은 표준 양자 컴퓨터보다 더 많은 것을 계산할 수 있으며, 만약 그렇다면 알려진 복잡도 클래스와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 충돌 문제를 해결하는 데 어떤 양자 알고리즘도 Ω(n^{1/5}) 쿼리 이상이 필요하며, 이는 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하고 암호 해시 함수를 깨는 데 블랙박스 양자 속도 향상이 없다는 것을 시사한다.
• 오라클에 대해, 양자 컴퓨터는 조언을 포함하더라도 NP-완전 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 없으며, 이는 NP가 BQP/qpoly에 속하지 않음을 보여준다.
• n차원 초입방체에서 국소 최솟값을 찾기 위해 양자 알고리즘이 Ω(2^{n/4}/n) 쿼리가 필요하며, 이 결과는 국소 검색에 대한 새로운 고전적 하한을 도출한다.
• 전체 부울 함수의 양자 쿼리 복잡도는 Q가 증명 복잡도일 때 O(Q^6)로 유계지며, 이는 양자와 고전 복잡도 사이의 날카로운 관계를 확립한다.
• 양자 계산에서의 후행 선택은 PostBQP라는 복잡도 클래스를 만들어내며, 이는 PP와 동일하다. 이는 PP가 교차에 대해 닫혀 있음을 보여주는 새로운 양자 기반 증명을 제공한다.
• 전체 숨겨진 변수 역사 샘플링을 允허하는 모델은 표준 양자 계산보다 略로 더 강력하며, PP를 초월하지는 않으며, 이러한 모델에 대한 근본적인 한계를 시사한다.