[논문 리뷰] Linear codes with two or three weights from weakly regular bent functions

Chunming Tang, Nian Li외 3명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 22.

Coding theory and cryptography참고 문헌 12인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 Ding 등과 Zhou 등이 이전에 수행한 연구를 확장하여, 약한 정규 벤트 함수로부터 두 및 세 무게 선형 코드의 구축을 일반화한다. 이는 순환체 이론을 사용하여 이러한 코드의 무게 분포를 결정하고, 평면 함수로부터의 코드의 무게 분포에 대한 열린 문제를 해결한다. 주요 기여는 무게 분포가 벤트 함수의 월리쉬 변환의 부호에 의해 완전히 결정된다는 점으로, 이는 적은 수의 무게를 가진 새로운 최적의 코드를 도출한다.

ABSTRACT

Linear codes with few weights have applications in consumer electronics, communication, data storage system, secret sharing, authentication codes, association schemes, and strongly regular graphs. This paper first generalizes the method of constructing two-weight and three-weight linear codes of Ding et al. \cite{DD2015} and Zhou et al. \cite{ZLFH2015} to general weakly regular bent functions and determines the weight distributions of these linear codes. It solves the open problem of Ding et al. \cite{DD2015}. Further, this paper constructs new linear codes with two or three weights and presents the weight distributions of these codes. They contains some optimal codes meeting certain bound on linear codes.

연구 동기 및 목표

• Ding 등과 Zhou 등이 이전에 수행한 연구를 초월하여, 약한 정규 벤트 함수로부터 두 및 세 무게 선형 코드의 구축을 일반화하는 것.
• 순환체 이론을 사용하여 이러한 선형 코드의 완전한 무게 분포를 결정하는 것.
• Ding 등이 제기한 평면 함수로부터의 선형 코드의 무게 분포에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 이전의 구축 방식과 다름을 가진 정의 집합을 사용하여 새로운 두 및 세 무게 선형 코드의 클래스를 구성하는 것.
• 기존의 코드 파rameter에 대한 알려진 경계를 만족하는 최적의 선형 코드를 식별하는 것.

제안 방법

• Ding 등과 Zhou 등이 제시한 코드 구축 방법을 임의의 약한 정규 벤트 함수로 일반화한다.
• 정의 집합 $D = \{x \in \mathbb{F}_q^\times : \mathrm{Tr}_{1}^{m}(F(x)) = 0\}$를 정의하기 위해 추적 함수 $\mathrm{Tr}_{1}^{m}(F(x))$를 사용한다.
• 정의 집합 $D$를 사용하여 선형 코드 $\mathcal{C}_D = \{ (\mathrm{Tr}_{1}^{m}(\beta d_1), \dots, \mathrm{Tr}_{1}^{m}(\beta d_n)) : \beta \in \mathbb{F}_q \}$를 정의한다.
• 지수 합을 분석하고 무게 분포를 결정하기 위해 순환체 이론을 적용한다.
• 약한 정규 벤트 함수의 월리쉬 변환의 부호에 의존하여 무게 분포를 완전히 특성화한다.
• 예를 들어 $D_{f,\text{sq}}$, $D_{f,\text{nsq}}$, 그리고 그 여집합과 같은 다른 정의 집합을 사용하여 새로운 두 및 세 무게 코드를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ding 등과 Zhou 등이 제시한 두 및 세 무게 코드의 구축 방법을 모든 약한 정규 벤트 함수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 방법을 사용하여 약한 정규 벤트 함수로부터 구축된 선형 코드의 완전한 무게 분포는 무엇인가?
• RQ3 약한 정규 벤트 함수의 월리쉬 변환의 부호가 관련 선형 코드의 무게 분포를 완전히 결정하는가?
• RQ4 다른 정의 집합을 사용하여 최적의 코드를 도출하는 새로운 두 및 세 무게 선형 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 코드의 무게 분포는 비밀 공유, 연합 체계, 강한 정규 그래프와 같은 응용 분야와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 약한 정규 벤트 함수로부터 구축된 선형 코드의 무게 분포는 벤트 함수의 월리쉬 변환의 부호에 의해 완전히 결정된다.
• Ding 등이 제기한 평면 함수로부터의 코드의 무게 분포에 대한 열린 문제는 약한 정규 벤트 함수로의 일반화를 통해 해결된다.
• 이전 연구와 다른 정의 집합을 사용하여 새로운 두 및 세 무게 선형 코드의 클래스가 구성되었으며, 이는 추가적인 최적의 코드를 도출한다.
• 함수 $f(x) = \mathrm{Tr}_1^m(cx^{(3^i+1)/2})$에서 $i$ 가 홀수이고 $\gcd(i,m) = 1$일 경우, 월리쉬 변환의 0에서의 값은 $\mathcal{W}_f(0) = (-1)^{m-1}\eta(c)\sqrt{p^*}^m$이며, 부호 $\varepsilon = (-1)^{m-1}\eta(c)$가 무게 분포를 완전히 결정한다.
• Coulter-Matthews 벤트 함수에 대해 코드 $\mathcal{C}_{D_f}$, $\mathcal{C}_{\overline{D}_f}$, $\mathcal{C}_{D_{f,\text{sq}}}$, $\mathcal{C}_{\overline{D}_{f,\text{sq}}}$, $\mathcal{C}_{D_{f,\text{nsq}}}$, 및 $\mathcal{C}_{\overline{D}_{f,\text{nsq}}}$의 무게 분포는 모두 완전히 결정된다.