[논문 리뷰] LINEAR RESPONSE FORMULA FOR EQUILIBRIUM STATES IN NON-UNIFORMLY EXPANDING DYNAMICS

Thiago Bomfim, Armando Castro외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 42인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 마르코프 분할을 필요로 하지 않는 비균일하게 팽창하는 동역학계에서 평형 상태에 대한 선형 반응 공식을 수립한다. 동역학과 포텐셜에 대한 위상 압력, 최대 엔트로피 측도, 리아푸노프 지수의 미분 가능성과 평형 상태에 대한 연속적인 국소 대칭 이탈 원리가 증명된다.

ABSTRACT

In this paper we give further contributions to the ergodic theory of a robust class of local diffeomorphisms with non-uniform expansion and where no Markov assumption is required. We prove that the topological pressure is differentiable as a function of the dynamics and the potential and provide a formula to the differentiable dependence of equilibrium states. Moreover we prove differentiability of the maximal entropy measure and continuity of ex- tremal Lyapunov exponents and metric entropy with respect to the dynamics. Finally we obtain a local large deviation principle for the equilibrium states and show that the rate function is continuous with respect to the dynamics and the potential.

연구 동기 및 목표

• 비균일하게 팽창하는 동역학계에 대해 선형 반응 이론을 강건한 국소 미분형 사상의 클래스로 확장하기.
• 동역학과 포텐셜에 대한 위상 압력의 미분 가능성 수립하기.
• 동역학과 포텐셜의 변형에 대한 평형 상태의 미분적 의존성에 대한 공식 유도하기.
• 시스템의 변형에 따라 극값 리아푸노프 지수와 메트릭 엔트로피가 연속적인지 증명하기.
• 이러한 시스템의 평형 상태에 대해 국소 대칭 이탈 원리 수립하고, 비용 함수가 동역학과 포텐셜에 대해 연속적인지 증명하기.

제안 방법

• 비균일하게 팽창하는 사상 분석을 위해 에르고딕 이론과 미분 동역학계 기법을 활용한다.
• 마르코프 분할이 없는 상황에서 평형 상태 이론과 위상 압력 이론을 적용한다.
• 압력과 평형 상태의 미분 가능성 분석을 위해 변형 기법을 사용한다.
• 암시 미분과 전이 연산자의 스펙트럼 분석을 통해 선형 반응 공식을 도출한다.
• 정규성 성질을 이용해 불변 측도의 연속성으로부터 리아푸노프 지수와 메트릭 엔트로피의 연속성 확보한다.
• 대칭 이탈 이론을 적용하여 비용 함수가 연속적인 국소 대칭 이탈 원리 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일하게 팽창하는 시스템에서 동역학과 포텐셜에 대해 위상 압력이 어떻게 미분 가능하게 의존하는가?
• RQ2 동역학과 포텐셜의 변형에 따른 평형 상태의 도함수에 대한 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ3 극값 리아푸노프 지수와 메트릭 엔트로피는 시스템의 변형에 대해 연속적인가?
• RQ4 이러한 시스템의 평형 상태에 대해 국소 대칭 이탈 원리가 성립하는가?
• RQ5 대칭 이탈 원리의 비용 함수는 동역학과 포텐셜에 대해 연속적인가?

주요 결과

• 위상 압력은 동역학과 포텐셜 양자 모두에 대한 함수로서 미분 가능하다.
• 동역학과 포텐셜의 변형에 대한 평형 상태의 미분적 의존성에 대해 선형 반응 공식이 도출된다.
• 최대 엔트로피 측도는 동역학에 대해 미분 가능하다.
• 극값 리아푸노프 지수와 메트릭 엔트로피는 동역학과 포텐셜에 대한 연속 함수이다.
• 평형 상태에 대해 국소 대칭 이탈 원리가 수립되었으며, 비용 함수가 연속적이다.
• 결과는 마르코프 분할을 가정하지 않아도 성립하므로, 더 넓은 범위의 비균일하게 팽창하는 시스템에 적용 가능하다.