[논문 리뷰] Liquidation in Limit Order Books with Controlled Intensity

Erhan Bayraktar, Michael Ludkovski|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 02.

Economic theories and models참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 한도 주문 가격을 통해 거래 밀도를 제어하는 리미트 오더 북에서 최적의 청산 문제를 수립하고 해결한다. 청산 위험은 스프레드에 의존하는 강도를 갖는 점과정을 통해 모델링된다. 점근적 해법을 사용하여 이산 상태 최적 제어 문제의 연속 유체 근사로의 수렴을 증명하며, 거듭제곱 법칙 및 지수 감쇠 오더 북 모델에 대해 명시적 해를 제공하고, 다중 자산 및 다중 거래소 환경에 대한 점근적 근사도 제시한다.

ABSTRACT

We consider a framework for solving optimal liquidation problems in limit order books. In particular, order arrivals are modeled as a point process whose intensity depends on the liquidation price. We set up a stochastic control problem in which the goal is to maximize the expected revenue from liquidating the entire position held. We solve this optimal liquidation problem for power-law and exponential-decay order book models and discuss several extensions. We also consider the continuous selling (or fluid) limit when the trading units are ever smaller and the intensity is ever larger. This limit provides an analytical approximation to the value function and the optimal solution. Using techniques from viscosity solutions we show that the discrete state problem and its optimal solution converge to the corresponding quantities in the continuous selling limit uniformly on compacts.

연구 동기 및 목표

• 리미트 오더 북에서 한도 주문 가격이 거래 밀도를 제어함에 따라 발생하는 청산 위험을 모델링하는 것.
• 통제 가능한 거래 밀도와 청산 시간 위험을 고려하여 청산에서의 기대 수익을 최대화하는 확률적 제어 문제를 수립하는 것.
• 이산 상태 문제의 유체 근사를 분석하여, 점성 해법 기법을 사용하여 값 함수와 최적 제어의 컴팩트 세트에서의 균일 수렴을 보여주는 것.
• 거듭제곱 법칙 및 지수 감쇠 오더 북 모델에 대해 명시적 해를 유도하고, 서로 다른 주문 크기와 강도를 갖는 다중 거래소 설정으로 확장하는 것.
• 작은 주문 거래가 존재하는 상황에서 큰 희귀 거래가 있을 경우의 점근적 근사 해를, 작은 강도 매개변수에 대한 섭동 분석을 통해 도출하는 것.

제안 방법

• 청산을 제어 가능한 점과정으로 모델링하며, 청산 강도는 가격의 비드 가격보다 높은 스프레드 $ s_t $ 에 의존하고, $ \Lambda(s_t) $ 가 도착률을 결정한다.
• 기대 수익을 최대화하기 위한 확률적 제어 프레임워크를 사용하여 $ n $ 주식의 청산을 다루며, 시간 $ T $ 까지 청산되지 않으면 수익이 0이 되는 조건을 포함한다.
• 점성 해법 이론을 적용하여, 이산 상태 값 함수와 최적 제어가 컴팩트 집합에서 연속적인 유체 근사로의 균일 수렴을 증명한다.
• 값 함수 $ v(x) $ 의 유체 근사 미분방정식을 유도하며, 이는 이산 거래 크기의 지연 구조를 고려하여 크기 $ \delta $ 의 간격에서의 반복 접합을 통해 해결된다.
• 다중 거래소 모델의 경우, 작은 주문과 큰 주문에 대해 각각 다른 제어 강도를 갖는 비선형 지연 미분방정식을 유도하고, 작은 $ \lambda_1 $ 에 대한 섭동을 사용하여 해를 구한다.
• 작은 $ \lambda_1 $ 에 대한 점근적 전개를 통해 첫 번째 보정항 $ v_1(x) $ 의 닫힌 형식 표현을 유도하며, 적분 인자 기법을 사용하여 명시적 해를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리미트 오더 북에서 한도 주문 가격이 거래 밀도를 제어함에 따라 최적의 청산 전략은 어떻게 달라지나?
• RQ2 이산 상태 최적 제어 문제의 수렴 행동은 어떻게 되며, 점성 해법을 통해 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ3 거듭제곱 법칙 및 지수 감쇠 오더 북 깊이 모델 하에서 최적 청산 문제의 명시적 해는 무엇인가?
• RQ4 각각 다른 주문 크기와 강도를 갖는 여러 거래소가 존재할 경우, 최적 청산 전략과 값 함수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 어느 한 거래소(예: 다크풀)가 다른 거래소보다 훨씬 낮은 강도를 갖는 경우, 값 함수에 대한 점근적 근사 해는 무엇인가?

주요 결과

• 이산 상태 최적 청산 문제의 유체 근사는 점성 해법 기법을 사용하여 컴팩트 집합에서 균일하게 수렴하며, 값 함수와 최적 제어 모두 수렴한다.
• 거듭제곱 법칙 오더 북 모델의 경우, 값 함수는 비선형 미분방정식을 만족하며, 크기 $ \delta $ 의 간격에서 반복 접합을 통해 해결되며, 0에서의 특이점은 주로 $ v_0(x) \propto x^{(\alpha-1)/\alpha} $ 의 주요 순서 근사로 해결된다.
• 작은 주문과 큰 주문이 존재하는 다중 거래소 모델의 해는 첫 번째 순서 비선형 지연 미분방정식이며, 간격 $ [n\delta, (n+1)\delta] $ 에서 반복 접합을 통해 반복적으로 해결할 수 있다.
• 작은 $ \lambda_1 $ 에서는 첫 번째 보정항 $ v_1(x) $ 가 적분 인자 기법을 사용하여 닫힌 형식으로 주어지며, $ y^{B_\alpha + \alpha - 1} $ 형태의 항들을 포함한 명시적 표현이 존재한다.
• 주요 순서 해 $ v_0(x) $ 는 단일 거래소 결과와 일치하여 더 단순한 모델과의 일致성을 확인한다.
• 값 함수는 일반적으로 오목하지 않으며, 이는 이산 거래 크기의 구조로 인해 고정점 $ \delta, 2\delta, \ldots $ 에서 미분 가능성이 없거나 오목성 상실이 발생할 수 있기 때문이다.