[논문 리뷰] LMI representations, determinants of monic linear pencils and decomposition into irreducible pencils

Tom-Lukas Kriel|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 09.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 헬튼과 머컬로우의 자유 스펙트라헤드론 결과에 대한 새로운 증명과 일반화를 제공하며, 기준점이 영이 아닌 임의의 행렬 점일 경우에도 단위 선형 펜슬로 정의된 유계 행렬 볼록집합이 자유 스펙트라헤드론임을 보여준다. 또한 행렬식의 기약성은 펜슬의 기약성을 암시하며, 이를 통해 기약 및 최소 성분으로의 분해가 가능하다.

ABSTRACT

In 2009 Helton and McCullough proved: If $p \in S(\mathbb{C}\! \!)^{\delta imes \delta}$ is a hermitian matrix polynomial with $p(0)=I_\delta$ and the connected components $\mathcal{D}_p(0)(k)$ of the sets $\{ X \in (S\mathbb{R}^{k imes k})^n | p(X) ext{ is invertible}\}$ containing $I_k \otimes 0$ are bounded and form a matrix convex set, then $\mathcal{D}_p(0)$ is a free spectrahedron. We will give a new proof of this statement and generalize it by showing what happens when $0$ is replaced by a matrix point. Apart from that we show how the minimal size of all descriptions of a free spectrahedron $\mathcal{D}_L$ defined by a monic linear pencil $L$ is encryted in the level hierarchy of the set $\mathcal{D}_L$. Furthermore we look at the determinants of monic linear pencils $L$ and analyze what can be said about properties of $\mathcal{D}_L$ using only those determinants. Although the determinants carry basically the same information as the pencil, this information is harder to access. We show: If $L$ is a monic linear pencil and the determinants of $L$ are reducible on each level, then also $L$ is reducible as a pencil. This fact allows us to deduce that linear pencils allow a decomposition as a direct sums of simultaneously irreducible and minimal ones.

연구 동기 및 목표

• 기준점을 원점에서 임의의 행렬 점으로 대체함으로써 헬튼과 머컬로우의 자유 스펙트라헤드론 정리의 일반화를 시도한다.
• 집합의 수준 계층을 이용하여 자유 스펙트라헤드론의 스펙트라헤드론 기술의 최소 크기를 특성화한다.
• 자기 정의의 단위 선형 펜슬의 행렬식으로부터 자유 스펙트라헤드론의 성질을 어떻게 유추할 수 있는지 분석한다.
• 단위 선형 펜슬의 행렬식의 기약성과 펜슬 자체의 기약성 간의 연결 고리를 수립한다.

제안 방법

• 원래 헬튼과 머컬로우의 증명을 원점이 아닌 임의의 행렬 점을 기준으로 하도록 적응한다.
• 자유 스펙트라헤드론의 수준 계층을 분석하여 선형 행렬부등식(LMI) 표현의 최소 크기를 규명한다.
• 펜슬의 구조를 대체로 사용하기 위해 단위 선형 펜슬의 행렬식을 활용하고, 각 수준에서의 대수적 성질을 연구한다.
• 스펙트럼 성질과 구조적 분해 간의 관계를 유도하기 위해 행렬 볼록성과 선형대수학 기법을 적용한다.
• 선형 펜슬의 맥락에서 기약성과 최소성의 개념을 활용하여 분해 정리를 도출한다.
• 만약 모든 수준에서 행렬식이 기약 가능하다면, 펜슬 자체도 기약 가능하며, 이를 직접합 분해로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 선형 펜슬로 정의된 행렬 볼록집합이 기준점이 원점이 아닐 경우에도 자유 스펙트라헤드론으로 남아 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 자유 스펙트라헤드론의 수준 계층은 그 LMI 표현의 최소 크기를 어떻게 코딩하는가?
• RQ3 각 수준에서 단위 선형 펜슬의 행렬식의 기약성으로부터 어떤 구조적 정보를 회복할 수 있는가?
• RQ4 단위 선형 펜슬의 행렬식의 기약성과 펜슬 자체의 기약성 간에 직접적인 관계가 존재하는가?
• RQ5 모든 단위 선형 펜슬은 동시에 기약적이고 최소적인 펜슬들의 직접합으로 분해될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 헬튼-머컬로우 정리를 임의의 행렬 점으로 일반화하여, 단위 선형 펜슬로 정의된 유계 행렬 볼록집합이 여전히 자유 스펙트라헤드론임을 보였다.
• 자유 스펙트라헤드론의 LMI 표현의 최소 크기는 집합의 수준 계층에 의해 코딩되며, 더 깊은 계층일수록 더 큰 최소 표현을 의미한다.
• 만약 단위 선형 펜슬의 행렬식이 모든 수준에서 기약 가능하다면, 펜슬 자체도 선형 펜슬로서 기약 가능하다.
• 각 수준에서의 행렬식 기약성은 펜슬이 더 작은 펜슬들의 직접합으로 분해될 수 있음을 암시한다.
• 모든 단위 선형 펜슬은 동시에 기약적이고 최소적인 펜슬들의 직접합으로 분해될 수 있으며, 이는 표준형을 확립한다.