[논문 리뷰] Local dimensions of measures on self-affine sets

K. J. Falconer, Jun Jie Miao|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 12.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 조건 하에서 자기유사 및 거의 자기유사 측도가 정확히 차원을 가지며, 국소 차원이 거의 확실히 정보 차원과 동일하다는 것을 증명한다. 국소 차원은 초가역 압력 함수의 영이 되며, 이 결과는 $L^q$-차원을 $q \nearrow 1$로 갈 때의 상한과 적분 추정을 통한 하한을 이용하여 유도되며, 코드 공간 위의 깁스 측도로까지 확장된다.

ABSTRACT

We show that, in a generic setting, self-affine and almost self-affine measures are exact dimensional, with local dimension equal almost everywhere to the information dimension and given by the zero of a superadditive pressure functional.

연구 동기 및 목표

• 자기유사 및 거의 자기유사 측도의 국소 차원을 일반적인 설정에서 결정하는 것.
• 이러한 측도가 정확히 차원을 가지며, 국소 차원이 거의 확실히 일정하다는 것을 입증하는 것.
• 국소 차원을 초가역 압력 함수의 영으로 식별하고 이를 정보 차원과 동일시하는 것.
• 결과를 기호 공간 위의 깁스 측도로 확장하고, 자기유사 집합 위로의 투영 측도를 분석하는 것.
• 상한과 하한을 $L^q$-차원과 적분 추정을 통해 결정적으로 제공하는 것.

제안 방법

• 초가역 압력 함수 $P(s,q)$를 사용하여 임계 지수 $d_q$를 정의하며, 여기서 $d_1$은 국소 차원이다.
• $L^q$-차원의 극한을 이용한 국소 차원의 상한을 구현하며, $q=1$에서 $P(s,q)$의 하부 연속성 특성을 활용한다.
• 정적 추정(정리 5.3)을 사용하여 국소 차원의 하한을 거의 확실히 확립한다.
• 실린더 측도의 하향성과 초가역성, 그리고 가역적 에르고도릭 정리를 이용하여 결과를 깁스 측도로 확장한다.
• 변분 원리와 허더 연속성을 사용하여 압력 함수의 존재성과 정규성을 보장한다.
• 기호 공간 $I_\infty$에서의 측도 투영을 $x^\omega(\mathbf{i})$를 통해 정의함으로써 $\mu^\omega$를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기유사 측도의 국소 차원이 $\mu^\omega$-거의 확실히 일정해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반적인 자기유사 측도의 국소 차원의 정확한 값은 무엇이며, 정보 차원과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 국소 차원은 초가역 압력 함수의 영으로 특징지을 수 있는가?
• RQ4 결과는 기호 공간 위의 깁스 측도와 그 자기유사 집합 위로의 투영에 어떻게 확장되는가?
• RQ5 국소 차원이 거의 확실히 $\min\{d_1, N\}$이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• ${\mathcal L}^{mN}$-거의 모든 $\omega$에 대해, 자기유사 측도 $\mu^\omega$는 정확히 차원을 가지며 국소 차원이 초가역 압력 함수 $P(s,1)$의 영인 $d_1$과 동일하다.
• 일반적인 $\omega$에 대해 국소 차원 $d_1$은 거의 확실히 정보 차원 $D^1(\mu^\omega)$와 동일하다.
• 상한은 $q \nearrow 1$일 때 $L^q$-차원의 극한을 통해 유도되며, $q=1$에서 $P(s,q)$의 하부 연속성 특성을 활용한다.
• 하한은 적분 추정(정리 5.3)을 통해 확립되며, $\liminf_{r\to 0} \frac{\log \mu^\omega(B(x,r))}{\log r} \geq d_1$ 거의 확실히 성립한다.
• 깁스 측도의 경우, 국소 차원은 $\min\{d_1, N\} \leq \lim_{r\to 0} \frac{\log \mu^\omega(B(x,r))}{\log r} \leq \min\{\lim_{q\nearrow 1} d_q, N\}$ 거의 확실히 성립한다.
• 결과는 거의 자기유사 집합으로까지 확장되며, 이 경우 국소 차원은 거의 확실히 $\min\{d_0, N\}$이 된다. 여기서 $d_0$는 친화 차원이다.