[논문 리뷰] Local Langlands correspondence for Asai L-functions and epsilon factors

Daniel Shankman|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 E/F가 p진 국소체의 이차 확장일 때, GLₙ(E)의 기약적이고 순수한 표현에 대해 Asai L함수와 에psilon 인자 간의 등식을 확립한다. Langlands-Shahidi 방법과 특정 함수의 균일한 미분 가능성에 기반하여, 감마 인자 등식이 Asai 표현에 대한 전체 국지 Langlands 상응관계를 이끌어내며, 이 경우에 대해 추측된 상응관계를 완성한다.

ABSTRACT

Let E/F be a quadratic extension of p-adic fields. The local Langlands correspondence establishes a bijection between n-dimensional Frobenius semisimple representations of the Weil-Deligne group of E and smooth, irreducible representations of GL(n,E). We reinterpret this bijection in the setting of the Weil restriction of scalars Res(GL(n),E/F), and show that the Asai L-function and epsilon factor on the analytic side match up with the expected Artin L-function and epsilon factor on the Galois side. This paper is based off of the author's forthcoming doctoral thesis.

연구 동기 및 목표

• 국지 Langlands 상응관계가 p진 경우의 Asai L함수와 에psilon 인자에 대해 성립함을 확립한다.
• GLₙ(E)의 표현 π에 대한 Asai L함수와 에psilon 인자가 Asai 표현에 의해 연결된 Galois 표현과 일치함을 증명한다.
• 감마 인자 간의 등식이 p진 설정에서 L함수와 에psilon 인자의 등식을 이끌어내는지 보여준다.
• Langlands-Shahidi 방법을 통해 Res_{E/F}GLₙ 위의 Asai 표현에 대한 추측된 국지 Langlands 상응관계를 완성한다.
• 기존의 아르히메데스 및 GLₙ 경우의 결과를 Weil-제한군 위의 Asai 표현으로 확장한다.

제안 방법

• Langlands-Shahidi 방법을 사용하여 GLₙ(E)의 표현에 대해 Asai L함수와 에psilon 인자를 정의한다.
• Weil 체환의 스칼라를 적용하여 Res_{E/F}GLₙ의 L군을 Gal(E/F)와 GL(V)×GL(V)의 반직곱으로 식별한다.
• R(T,S) = T⊗S 및 R(σ)(v⊗v′) = v′⊗v를 통해 R: ⁱLℳ → GL(V⊗V)로 Asai 표현을 구성한다.
• GLₙ에 대한 알려진 국지 Langlands 상응관계와 Weil 체환에 대한 상응관계의 호환성을 활용한다.
• 행렬 계수의 균일한 미분 가능성에 기반하여, 문자 η가 매우 램피드일 경우 특정 적분이 0이 됨을 보인다.
• 기저 변경을 활용하고 감마 인자 등식이 단위근까지의 차이를 허용할 경우 L인자 등식이 도출됨을 이용하여 주요 결과를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국지 Langlands 상응관계는 p진 설정에서 Asai L함수와 에psilon 인자에 대해 성립하는가?
• RQ2 Asai 표현에 대해 감마 인자 등식을 사용하여 L함수와 에psilon 인자의 등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 GLₙ(E)의 표현 π에 대한 Asai L함수는 관련 Galois 표현이 Asai 표현에 의해 왜곡된 L함수와 같은가?
• RQ4 GLₙ에 대한 국지 Langlands 상응관계는 Asai 표현을 통해 Weil-제한군 Res_{E/F}GLₙ로 확장되는가?
• RQ5 행렬 계수와 램피드 문자를 포함하는 특정 적분의 영함을 이용하여 L인자의 등식을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• GLₙ(E)의 임의의 기약적이고 순수한 표현 π에 대해 Asai L함수 L(s,π,ℛ)는 Galois 표현 ρ에 대해 L(s,ℛ∘ρ)와 같다.
• 에psilon 인자 ε(s,π,ℛ,ψ)는 ε(s,ℛ∘ρ,ψ)와 일치하며, 이는 Asai 표현에 대한 추측된 국지 Langlands 상응관계를 확인한다.
• 감마 인자 간의 등식 γ(s,π,ℛ,ψ) = γ(s,ℛ∘ρ,ψ)는 p진 설정에서 L함수와 에psilon 인자의 등식을 이끌어낸다.
• 특정 하위군 위의 적분이 문자 η가 충분히 높은 램피드성을 띠면 0이 됨을 보여주는 데 증명이 의존한다.
• 변수 변경과 미분 가능성 성질을 통해 전역 zeta 적분의 차이 C_χ(s,π₁η)⁻¹ − C_χ(s,π₂η)⁻¹ = 0이 성립함을 확립한다.
• 이 결과는 p진 설정에서 Res_{E/F}GLₙ 위의 Asai 표현에 대한 국지 Langlands 상응관계를 완성하며, 이는 이전의 GLₙ 및 아르히메데스 군에 대한 결과를 바탕으로 한다.