[논문 리뷰] Geometric realization of special cases of local Langlands and Jacquet-Langlands correspondences

Mitya Boyarchenko, Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 22.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 장 $F$ 의 차수 $n$ 인 분비되지 않은 확장 위에서 특정한 성질을 가진 특성에 대해 국소 리만-랑랜즈 및 자크에-랑랜즈 대응에서 유래하는 초초속표현의 기하적 구성법을 제시한다. 루빈-타이트 타워의 아핀 부분공간을 활용하여, 유한체 위의 위엘 표현을 사용하지 않고도 $GL_n(F)$ 와 $D^\times$-표현을 구성함으로써, 이러한 대응의 최소 적응 가능한 경우에 대한 증명을 단순화하고 정제한다.

ABSTRACT

Let F be a non-Archimedean local field and let E be an unramified extension of F of degree n>1. To each sufficiently generic multiplicative character of E (the details are explained in the body of the paper) one can associate an irreducible n-dimensional representation of the Weil group W_F of F, which corresponds to an irreducible supercuspidal representation π of GL_n(F) via the local Langlands correspondence. In turn, via the Jacquet-Langlands correspondence, π corresponds to an irreducible representation ρ of the multiplicative group of the central division algebra over F with invariant 1/n. In this note we give a new geometric construction of the representations π and ρ, which is simpler than the existing algebraic approaches (in particular, the use of the Weil representation over finite fields is eliminated).

연구 동기 및 목표

• 차수 $n$ 인 분비되지 않은 $p$-진 장 $F$ 의 중심 분할 대수 $D$ 에 대해 $D^\times$ 와 대응하는 $GL_n(F)$ 의 기약 초초속표현의 명시적 기하적 구성법을 제공한다.
• 유한체 위의 위엘 표현을 피하기 위해 국소 리만-랑랜츠 및 자크에-랑랜츠 대응의 최소 적응 가능한 경우에 대한 증명을 단순화한다.
• 새로운 $p$-진 표현 이론 분야에 진입하는 연구자들을 위한 자습자 자료로 기능할 수 있는 자가 포함된 상세한 서술을 제공한다.

제안 방법

• 구성은 제2저자의 도입한 국소장 $F$ 의 루빈-타이트 타워에서 아핀 부분공간에 기반한 기하적 프레임워크를 사용한다.
• 표현 $ρ$ 는 $GL_n(F)$ 의 컴acts 오픈 부분군 $J$ 와 그 부분군 $J_+$ 를 정의하며, 몫 $J/J_+$ 는 유니포텐트 군 $U(\bar{\bbF}_{q^n})$ 와 동일시된다.
• $D^\times$-표현 $\rho$ 는 특성 $\theta$ 를 통해 변형된 $H^{n-1}_c(X \times \bar{\bbF}_q, \bar{\bbQ}_\bl)$ 의 코homological 표현으로부터의 풀어내림을 통해 구성된다. 여기서 $\theta$ 는 수준 $r_0 \geq 2$ 인 특성이다.
• 특성 $\theta$ 는 $E^\times \ltimes J$ 의 표현으로 확장되며, 이는 $E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ 에서 표현 $\theta \otimes \sigma_0$ 로 내림내림되고, 이후 $GL_n(F)$ 의 초초속표현 $\pi$ 를 얻기 위해 유도된다.
• 기약성의 증명은 상호작용 성질에 기반하며, 임의의 상호작용자(인터티너)는 반드시 수준-$r_0$ 의 구조를 유지해야 하므로, 컴팩트 오픈 부분군의 정규화군을 제어할 수 있다.
• 루빈-타이트 타워의 기하적 자료를 사용함으로써 위엘 표현을 피하는 구성은 이전의 대수적 접근보다 더 직접적이고 정제된 추론을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 적응 가능한 쌍 $(E^\times, \theta)$ 에 대해 수준 $r_0 \geq 2$ 인 특성 $\theta$ 를 갖는 국소 리만-랑랜츠 대응은 어떻게 기하적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 유한체 위의 위엘 표현을 사용하지 않고 자크에-랑랜츠 대응을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 루빈-타이트 타워에서 아핀 부분공간은 어떻게 $GL_n(F)$ 와 $D^\times$ 의 초초속표현을 실현하는 데 기여하는가?
• RQ4 기하적 구성은 국소 리만-랑랜츠 및 자크에-랑랜츠 대응의 표준 대수적 증명을 어떻게 단순화하는가?

주요 결과

• 표현 $\pi = \operatorname{Ind}_{E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G}^{GL_n(F)}(\sigma)$ 는 컴팩트 오픈 부분군에서의 표현 $\sigma$ 로부터 기하적 유도를 통해 얻어진 $GL_n(F)$ 의 기약 초초속표현이다.
• $D^\times$ 의 표현 $\rho$ 는 루빈-타이트 타워의 적절한 아핀 부분다양체의 코homology 로부터의 풀어내림을 통해 구성되며, 자크에-랑랜츠 대응 하에서 $\pi$ 와 대응한다.
• 수준 $r_0 \geq 2$ 이고 ${\rm Gal}(E/F)$-불변인 $E^\times$ 의 특성 $\theta$ 는 $\mathcal{W}_E$ 에서의 유도를 통해, 위엘 군 $\mathcal{W}_F$ 의 매끄럽고 기약적인 $n$ 차원 표현 $\sigma_\theta$ 를 유도한다.
• 표현 $\sigma$ 가 $E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ 에서의 추적은 매우 정규적인 $x \in \mathcal{O}_E^\times$ 에 대해 $\operatorname{tr}\sigma(x) = (-1)^{n-1} \cdot \theta(x)$ 를 만족하며, 기대되는 특성 관계를 확인한다.
• 유한체 위의 위엘 표현을 사용하지 않아, 최소 경우에서의 대응에 대한 더 기하적이고 정제된 증명을 제공한다.
• $GL_n(F)$ 내에서 컴팩트 오픈 부분군 $E^\times \cdot U^{(r_0-1)/2}_G$ 의 정규화군이 자신임을 보여, 표준적인 상호작용 추론을 통해 유도된 표현 $\pi$ 의 기약성을 확보한다.