[논문 리뷰] Local large deviations principle for occupation measures of the damped nonlinear wave equation perturbed by a white noise

Davit Martirosyan, Vahagn Nersesyan|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 14.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 정규화된 시공간 백색잡음에 의해 흐트러진 감쇠 비선형파동방정식의 점유측도에 대해 국소적인 대수적 이탈 원리(LDP)를 수립한다. 포물형 PDE에서의 커플링 및 에르고딕성 기법을 확장하여, 비영인 비율 함수를 가진 수준-1 LDP를 증명함으로써, 정적 측도 위에만 비영이 되지 않는다는 점을 입증함으로써, 주어진 잡음 조건 하에서 불변 측도에 대한 고도의 집중이 불가능함을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the damped nonlinear wave (NLW) equation driven by a spatially regular white noise. Assuming that the noise is non-degenerate in all Fourier modes, we establish a large deviations principle (LDP) for the occupation measures of the trajectories. The lower bound in the LDP is of a local type, which is related to the weakly dissipative nature of the equation and seems to be new in the context of randomly forced PDE's. The proof is based on an extension of methods developed in \cite{JNPS-2012} and \cite{JNPS-2014} in the case of kick forced dissipative PDE's with parabolic regularisation property such as, for example, the Navier-Stokes system and the complex Ginzburg-Landau equations. We also show that a high concentration towards the stationary measure is impossible, by proving that the rate function that governs the LDP cannot have the trivial form (i.e., vanish on the stationary measure and be infinite elsewhere).

연구 동기 및 목표

• 비퇴직적 공간-시간 백색잡음 하에서 감쇠 비선형파동(NLW) 방정식의 점유측도에 대해 대수적 이탈 원리(LDP)를 수립하기 위해.
• 나비에-스톡스, 복소 기진부르크-란다우 방정식 등에 적용된 킥-강제 포물형 PDE 기법을, 공간적으로 정규화된 소음을 갖는 쌍곡형, 약간의 소산이 있는 방정식으로 확장하기 위해.
• LDP에서의 비율 함수가 비영일 수밖에 없음을 보여주며, 이는 불변 측도 위에만 영이 되지 않음을 의미함으로써, 불변 법칙에 대한 무한한 집중이 불가능함을 시사한다.
• 전체 위상공간에서가 아니라 정적 측도의 기대값 주변의 이웃에서 유효한 국소 LDP를 증명하기 위해.

제안 방법

• 두 궤적에 대해 공동 마코프 과정을 구성하기 위해 [JNPS, JNPS14]의 커플링 방법을 응용하여, 그 수렴이 분포상에서 이루어지도록 보장한다.
• LDP를 관련 마코프 반군의 스펙트럼 성질과 연결하기 위해 곱의 에르고딕 정리를 사용한다.
• 스펙트럼 간격과 균일한 비가역성의 존재로부터 LDP를 도출하기 위해 키퍼의 국소적 정리를 적용한다.
• 모든 푸리에 모드에서의 공간 정규성과 비퇴직성을 확보하기 위해 소음 계수 $ b_j $ 에 조건을 부과한다.
• 정규 해에 대한 지수적 꼬리 제어와 모멘트 추정을 통해 점유측도의 尾행동을 제어하기 위해, 에너지 유형 부등식과 소볼레프 포함을 활용한다.
• 균일한 펠러 성질을 수립하고, 일반화된 마코프 반군을 사용하여 잡음에 의해 유도된 비-마코프 성격을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포물형 정규화가 없는 상황에서 공간-시간 백색잡음을 갖는 감쇠 비선형파동방정식의 점유측도에 대해 대수적 이탈 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 LDP에서의 비율 함수는 비영일 수밖에 없으며, 불변 측도 위에만 영이 되는가? 이는 무한한 집중을 암시하는가?
• RQ3 약한 소산이 있는 시스템에서 강력한 정규화 없이 국소적 LDP는 어떻게 유도되는가?
• RQ4 소음 계수 $ b_j $ 에 어떤 조건이 부여되어야 혼합성과 비가역성이 확보되어 LDP가 성립하는가?
• RQ5 포물형 PDE에 사용된 커플링 방법을 비퇴직적 소음을 갖는 쌍곡형 스토케스 방정식에 적응할 수 있는가?

주요 결과

• 공간적으로 정규화된 백색잡음을 갖는 감쇠 비선형파동방정식의 점유측도에 대해 국소 수준-1 대수적 이탈 원리가 수립된다.
• 비율 함수 $ I^ ho $ 는 볼록이며 비영이므로, 정적 측도 위에만 영이 되지 않음을 의미하며, 이는 불변 법칙에 대한 무한한 집중을 배제한다.
• 작은 $ rak{s} > 0 $ 에 대해 $ H^{rak{s}+1}(D) \times H^{rak{s}}(D) $ 의 유계 집합 전역에서 LDP가 균일하게 성립함을 보장하여, 초기 조건에 대한 강건성을 확보한다.
• 증명은 포물형 PDE에서의 커플링 및 에르고딕성 기법을 쌍곡형, 약한 소산이 있는 설정으로 확장함에 기반한다.
• 에너지 유형 부등식과 소볼레프 포함을 통해 정규 해에 대한 지수적 꼬리 제어와 모멘트 추정이 확립된다.
• 모든 푸리에 모드에서의 소음의 비퇴직성($ b_j > 0 $)은 균일한 비가역성과 LDP의 타당성을 확보하기 위해 필수적이다.