[논문 리뷰] Local martingale deflators for asset processes stopped at a default time $S^ au$ or right before $S^{ au-}$

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자산 가격이 디폴트 시간 τ 직전에 정지되는 점진적 확장 필터링 프레임워크에서 국소 마틴갈 데플레이터의 존재에 대한 필요하고도 충분한 조건을 수립한다. 아제마 초마르팅게일과 그 예측 가능 다중분해를 활용하여, 아제마 초마르팅게일의 예측 가능 다중분해 마르팅게일 부분 L의 역수 비례인 요소를 통해 Sτ–에 대한 G-국소 마틴갈 데플레이터를 구성하며, 이는 이전의 디폴트 리스크 하에서 대차리스크 및 자금조달 비용에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}\subset \mathbb{G}$ be two filtrations and $S$ be a $\mathbb{F}$ semimartingale possessing a $\mathbb{F}$ local martingale deflator. Consider $ au$ a $\mathbb{G}$ stopping time. We study the problem whether $S^{ au-}$ or $S^{ au}$ can have $\mathbb{G}$ local martingale deflators. A suitable theoretical framework is set up in this paper, within which necessary/sufficient conditions for the problem to be solved have been proved. Under these conditions, we will construct $\mathbb{G}$ local martingale deflators for $S^{ au-}$ or for $S^{ au}$. Among others, it is proved that $\mathbb{G}$ local martingale deflators are multiples of $\mathbb{F}$ local martingale deflators, with a multiplicator coming from the multiplicative decomposition of the Az\'ema supermartingale of $ au$. The proofs of the necessary/sufficient conditions require various results to be established about Az\'ema supermartingale, about local martingale deflator, about filtration enlargement, which are interesting in themselves. Our study is based on a filtration enlargement setting. For applications, it is important to have a method to infer the existence of such setting from the knowledge of the market information. This question is discussed at the end of the paper.

연구 동기 및 목표

• 문헌 [6, 7]의 프레임워크를 확장하기 위해 '조건 (A)' 기법을 국소 마틴갈 데플레이터 변화를 확대한 확장 모델에 적용함으로써 보다 넓은 범위의 모델로 일반화하는 것.
• S가 F-세미마르팅게일이자 F-국소 마틴갈 데플레이터를 갖는다고 가정할 때, 디폴트 이전 과정 Sτ–가 G-국소 마틴갈 데플레이터를 갖는 조건을 규명하는 것.
• 디폴트 시간 τ의 아제마 초마르팅게일 Z를 바탕으로 Sτ–에 대한 명시적 G-국소 마틴갈 데플레이터를 구성하는 것. 특히 아제마 초마르팅게일의 다중분해 Z = LD를 통해 수행한다.
• Z의 첫 번째 영점 시간 ζ가 다중분해된 구성요소 η, 9η, :η로 분해될 때, 이들이 디폴트 시점에서의 데플레이터 행동에 미치는 영향을 명확히 하는 것.
• 시장 정보 G와 디폴트 시간 τ로부터 G와 [0, τ)에서 일치하는 부분필터링 F를 복원할 수 있는 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 두 개의 필터링 구조를 도입함: F ⊂ G이며, G는 디폴트 시간 τ 이후에만 F와 다름. Assumption 2.1에 의해 F는 [0, τ)에서 G와 일치함.
• 아제마 초마르팅게일 Z에 대해 Doob-Meyer 분해 Z = m + a와 [17]에서 유래한 예측 가능 다중분해 Z = LD를 사용함.
• 레마 3.9에서 새로운 공식 D = Z₀Exp(–1/Z⁻ ₒ a)를 수립함. 이는 다중분해 Z = LD를 전체 시간축으로 확장하면서, das가 {L⁻ = 0}에 질량을 갖지 않음을 보장함.
• 섹션 6에서 감소 기법을 적용하여 [0, τ)에서 정의된 G-국소 마르팅게일을 특성화함. 특히 레마 6.6을 통해 G-국소 마르팅게일과 그 F-감소를 연결함.
• Sτ–에 대한 G-국소 마르팅게일 데플레이터를 F-국소 마르팅게일 데플레이터와 Mτ– / Lτ–의 곱으로 구성함. 여기서 M는 S에 의존하는 과정임.
• 제울린-요르 공식과 조건부 기대값에서 유도된 필터링을 활용하여, 엄밀한 밀도 또는 코크 타임 가정 하에서 F₀를 G₀와 τ로부터 탐지하는 방법을 제시함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 S가 F-국소 마르팅게일 데플레이터를 갖는다고 할 때, Sτ–가 G-국소 마르팅게일 데플레이터를 갖는 조건는 무엇인가?
• RQ2 아제마 초마르팅게일의 다중분해 Z = LD를 전체 시간축으로 확장하면서, das가 {L⁻ = 0}에 질량을 갖지 않도록 보장할 수 있는 조건는 무엇인가?
• RQ3 Z의 첫 번째 영점 시간 ζ의 정확한 역할은 무엇이며, 그 구성요소인 η, 9η, :η는 Sτ–에 대한 G-국소 마르팅게일 데플레이터의 존재성과 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 G-데플레이터가 F-데플레이터를 L로 나눈 것에 비례한다는 추측을 공식적으로 확인할 수 있는가? 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ5 엄밀한 밀도 또는 코크 타임 가정 하에서, 시장 필터링 G와 디폴트 시간 τ로부터 부분필터링 F₀를 어떻게 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 정리 7.10은 아제마 초마르팅게일의 행동과 그 분해에 기반하여 Sτ–에 대한 G-국소 마르팅게일 데플레이터 존재에 대한 필요하고도 충분한 조건을 제공한다.
• 레마 3.9는 D = Z₀Exp(–1/Z⁻ ₒ a) 공식을 수립하며, 이는 다중분해 Z = LD를 전체 시간축으로 확장하면서 {L⁻ = 0}에서 das의 질량 부재를 보장함.
• Sτ–에 대한 G-국소 마르팅게일 데플레이터는 F-국소 마르팅게일 데플레이터와 Mτ– / Lτ–의 곱으로 구성되며, 이는 다중분해 추측을 확인함.
• 레마 6.6의 감소 결과는 [0, τ)에서 정의된 G-국소 마르팅게일을 그 F-감소로 특성화하며, 데플레이터 구성의 핵심 기반을 형성함.
• 엄밀한 밀도 가정(Hypothesis 9.10) 하에서 τ의 분포는 밀도 함수로 결정되며, F₀₈에 제한된 K(t)는 Q와 밀도 ppt,·)/EQ[ppt,·)]로 표현되는 것과 동치임.
• 코크 타임 예시(Hypothesis 9.11)에서 das가 르베그 측도에 대해 비특이적일 경우, F₀₈에서 τ의 조건부 분포는 절대연속적이지 않으며, F₀₈에서 K(t)는 Q에 의해 지배되지 않음. 이는 엄밀한 밀도 가정이 프레임워크가 성립하는 데 필수적이지 않음을 보여줌.