[논문 리뷰] Local Shtukas, Hodge-Pink Structures and Galois Representations

Urs Hartl, Wansu Kim|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 39인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 국소 shtuka를 이용해 Fontaine의 정수환 위에서의 크리스탈린 p-진 갈로아 표현 이론의 함수체 버전을 수립한다. 이는 타테 모듈러스 함자가 완전 충실하다는 것을 증명하고, 에탈, 데 라무, 크리스탈린 코homology 실현 간 비교 동형사상들을 구성한다. 또한 등차수 크리스탈린 변형 링을 구축하고, 그들의 리지드 해석적 미세함을 증명하며, 호지-핑의 구조와 t-모티브를 통해 그 차원을 계산한다.

ABSTRACT

We review the analog of Fontaine's theory of crystalline $p$-adic Galois representations and their classification by weakly admissible filtered isocrystals in the arithmetic of function fields over a finite field. There crystalline Galois representations are replaced by the Tate modules of so-called local shtukas. We prove that the Tate module functor is fully faithful. In addition to this étale realization of a local shtuka we discuss also the de Rham and the crystalline cohomology realizations and construct comparison isomorphisms between these realizations. We explain how local shtukas and these cohomology realizations arise from Drinfeld modules and Anderson's $t$-motives. As an application we construct equi-characteristic crystalline deformation rings, establish their rigid-analytic smoothness and compute their dimension.

연구 동기 및 목표

• 국소 shtuka를 이용해 Fontaine의 크리스탈린 p-진 갈로아 표현 이론의 함수체 버전을 수립한다.
• 국소 shtuka에서 타테 모듈러스 함자가 완전 충실하다는 것을 증명한다.
• 국소 shtuka의 에탈, 데 라무, 크리스탈린 코homology 실현 간 비교 동형사상을 구성한다.
• 국소 shtuka와 t-모티브, 드리플린드 모듈 간의 관계를 규명한다.
• 등차수 크리스탈린 변형 링을 구축하고, 그들의 리지드 해석적 미세함을 증명하며, 그 차원을 계산한다.

제안 방법

• 저자들은 Frobenius 유사 자기사상 τ를 가진 t-모티브의 일반화로 국소 shtuka를 정의하고, τ에 대한 고정점으로서의 타테 모듈러스를 정의한다.
• 타테 모듈러스에 호지-핑의 구조를 도입하고, Fontaine 이론에 유사한 적합성 및 약한 적합성 조건을 정의한다.
• 기저 환 A_ε의 구조와 갈로아 작용을 이용해 국소 shtuka의 에탈, 데 라무, 크리스탈린 실현 간 비교 동형사상을 구성한다.
• 이 이론을 t-모티브와 드리플린드 모듈에 적용하여, 그들의 코homology 실현이 문헌에 알려진 정의와 일치함을 보인다.
• 변형 이론을 사용해 크리스탈린 변형 링 R^≤d_ρ̄를 구성하고, 국소 링의 기하학적 정칙성으로부터 그의 미세함을 증명한다.
• 관련된 호지-핑의 구조와 갈로아 군 작용을 이용해 변형 링의 차원을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Fontaine의 크리스탈린 p-진 갈로아 표현 이론은 어떻게 함수체 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 국소 shtuka, t-모티브, 드리플린드 모듈 간의 코homological 실현 관계는 어떠한가?
• RQ3 국소 shtuka에 대해 에탈, 데 라무, 크리스탈린 코homology 간 비교 동형사상이 존재하는가? p-진 호지 이론과 유사한가?
• RQ4 등차수 크리스탈린 변형 링을 구성할 수 있으며, 그들의 미세함은 성립하는가?
• RQ5 변형 링 R^≤d_ρ̄의 차원은 무엇이며, 그 표현의 호지-핑의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 국소 shtuka에서 갈로아 표현으로의 타테 모듈러스 함자는 완전 충실함을 보이며, 기하학적 대상과 갈로아 표현 간의 강력한 연결 고리를 확립한다.
• 국소 shtuka의 에탈, 데 라무, 크리스탈린 코homology 실현 간 비교 동형사상이 구성되었으며, Fontaine의 비교 정리들을 일반화한다.
• 등차수 크리스탈린 변형 링 R^≤d_ρ̄는 리지드 해석적으로 미세함을 보이며, p-진 설정의 결과를 확장한다.
• 변형 링 R^≤d_ρ̄의 차원은 d²로 계산되었으며, 호지-핑의 구조에서 예상되는 값과 일치한다.
• 탄성 국소 shtuka 모델을 이용해 갈로아 표현의 동치류를 표현하고, R^≤d_ρ̄ 위에서의 프로젝티브 스킴인 모듈러스 공간 GR^≤d_ρ̄를 구성한다.
• 이 구성은 키신의 유한 평탄 군 스킴의 모듈러스를 일반화하며, 파파스-라포포르 계수 공간의 등차수 버전을 시사한다.