[논문 리뷰] Local well-posedness for the great lake equation with transport noise

Dan Crisan, Oana Lang|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 06.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 얕은 수류 역학에서 영감을 받은 가중 치환 불가능 조건 하에 2차원 토러스 위에서 운반 노이즈가 첨부된 확률적 큰 호수 방정식에 대해 국소 적으로 잘 정의된 해를 확립한다. 일반화된 코어스터미널-스트림 함수 연산자와 점탄성 근사 및 컴actness 추론을 도입함으로써, 저자들은 초기 매끄러운 성질을 가중 색볼레프 공간에서 유지하는 경로에 따라 유일하고 확률적으로 강한 해를 증명한다.

ABSTRACT

This work is a continuation of the authors' work for the stochastic 2D Euler equation driven by transport type noise. Here we lift the incompressibility constraint. Instead we assume a weighted incompressibility condition. This condition is inspired by a physical model for a fluid in a basin with a free upper surface and a spatially varying bottom topography. Moreover, we assume a different form of the vorticity to stream function operator that generalizes the standard Biot-Savart operator which appears in the Euler equation. These two properties are exhibited in the physical model called the great lake equation. For this reason we refer to the model analysed in this paper as the stochastic great lake equation. The new vorticity to stream function operator generalizes the curl operator and it is shown to have good regularity properties. We also show that the initial smoothness of the solution is preserved. The arguments are based on constructing a family of viscous solutions which is proved to be relatively compact and to converge to a truncated version of the original equation. Finally, we show that the truncation can be removed up to a positive stopping time.

연구 동기 및 목표

• 가중 제약 조건을 통한 변수적 바닥 지형과 비상수 치환 불가능성을 포함하는 확률적 2D 유체역학 프레임워크를 확장하기 위해.
• 자유 표면와 공간적으로 변화하는 깊이를 가진 분지에서 유체역학을 기술하기 위해 운반 노이즈가 첨부된 확률적 코어스터미널 방정식을 사용하기 위해.
• 바닥 지형 함수 $b$에 의해 유도된 기하학을 고려하는 코어스터미널-스트림 함수 사상으로 표준 $\boldsymbol{curl}$ 연산자를 일반화하기 위해.
• 초기 정규성과 함께 가중 색볼레프 공간 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}(\mathbb{T}^2)$ 내에서 경로에 따라 유일하고 확률적으로 강한 해를 확립하기 위해.
• 해가 국소적으로 시간에 대해 잘 정의되어 있음을 보장하기 위해, 양의 정지 시간까지 방정식의 잘라내기(트렁케이션)를 제거하기 위해.

제안 방법

• 켈빈의 순환 정리와 에너지 보존을 유지하기 위해 스트라토노비치 적분을 사용하여 확률적 큰 호수 방정식을 수립하기 위해.
• 표준 $\boldsymbol{curl}$ 연산자를 대체하고 깊이 함수 $b$를 통합하는 일반화된 코어스터미널-스트림 함수 연산자를 도입하기 위해.
• 통제 가능한 정규성과 컴팩턴스를 갖는 해의 가족 $\omega^{\nu_n, R, n}_t$를 구성하기 위해 점탄성 근사 방법을 사용하기 위해.
• 고차 도함수의 $L^2_b$-노름에 이토의 공식을 적용하여 사전 추정치를 도출하며, 이토 보정 항의 제어를 포함하기 위해.
• 버크홀더-데이비스-건디 부등식과 그로워발의 부등식을 사용하여 해의 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}$-노름의 두 번째 모멘트를 유계로 제한하기 위해.
• 시간 구간 $[0,T]$ 내에서 $D([0,T], L^2_b(\mathbb{T}^2))$ 내의 상대적 컴팩턴스와 보조정리 20을 활용하여 극한을 취하고 가중 색볼레프 공간에서 해를 복원하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운반 노이즈가 첨부된 확률적 큰 호수 방정식이 가중 색볼레프 공간에서 경로에 따라 유일한 국소 해를 갖는가?
• RQ2 일반화된 코어스터미널-스트림 함수 연산자는 확률적 진화 하에서 어떻게 행동하며, 정규성을 유지하는가?
• RQ3 점탄성 근사 방법이 가중 치환 불가능 조건 $\nabla \cdot (b u) = 0$를 다룰 수 있도록 적응될 수 있는가?
• RQ4 비퇴화성 바닥 지형 $b$는 유체 영역의 위상 기하학적 구조를 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 양의 정지 시간까지 방정식의 잘라내기(트렁케이션)를 제거할 수 있는가? 이는 해가 국소적으로 시간에 대해 유효함을 보장한다.

주요 결과

• 초기 자료가 동일한 공간에 있을 경우, 확률적 큰 호수 방정식은 가중 색볼레프 공간 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}(\mathbb{T}^2)$ 내에서 경로에 따라 유일하고 확률적으로 강한 해를 갖는다.
• 초기 코어스터미널의 매끄러움은 해 궤적을 따라 거의 확실히 유지되며, 이는 $\mathcal{W}_{b}^{k,2}$-노름에 대한 균일한 사전 추정치로 입증된다.
• 가중 색볼레프 공간의 네 번째 모멘트에 대한 사전 추정치가 확립되었으며, $\mathbb{E}[\sup_{s\in[0,T]}\|\omega_s^{\nu_n,R,n}\|_{b,k,2}^4] \leq \mathcal{C}(R,T)$ 이며, 이는 $n$에 대해 일관되게 유지된다.
• 일반화된 코어스터미널-스트림 함수 연산자는 양호한 정규성 성질을 갖는 것으로 밝혀졌으며, 이는 속도 장이 코어스터미널에 의해 제어됨을 보장한다.
• 방정식의 잘라내기(트렁케이션)는 양의 정지 시간까지 제거될 수 있으며, 이는 해가 국소적으로 시간에 대해 정의되어 있음을 확인한다.
• 비퇴화성 $b$는 영역의 기하학적 구조에 영향을 주지만, 위상은 그대로 유지되며, 이는 잘 정의된 해 결과에 있어 핵심적이다.