[논문 리뷰] Locality of connective constants, II. Cayley graphs

Geoffrey Grimmett, Zhongyang Li|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 32인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 군 높이 함수를 도입하여 케일리 그래프의 연결 상수의 국소성(locality)을 확립한다. 군 높이 함수는 군의 구조에 연결된 특수한 그래프 높이 함수이며, 양의 결함성과 단조성 구조를 가진 유한 생성 군에 대해 존재함을 증명함으로써, 선형 성장과 주기적 차수를 갖는 조화 함수를 통한 국소성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

Abstract. The connective constant µ(G) of an infinite transitive graph G is the exponential growth rate of the number of self-avoiding walks from a given origin. In earlier work of Grimmett and Li, a locality theorem was proved for connective constants, namely, that the connective constants of two graphs are close in value whenever the graphs agree on a large ball around the origin. A condition of the theorem was that the graphs support so-called ‘graph height functions’. When the graphs are Cayley graphs of infinite, finitely generated groups, there is a special type of graph height function termed here a ‘group height function’. A necessary and sufficient condition for the existence of a group height function is presented, and may be applied in the context of the bridge constant, and of the locality of connective constants for Cayley graphs. Locality may thereby be established for a variety of infinite groups including those with strictly positive deficiency. It is proved that a large class of transitive graphs (and hence Cayley graphs) support graph height functions that are in addition harmonic on the graph. This extends an earlier constructive proof of Grimmett and Li, but subject to an addi-tional condition of unimodularity which is benign in the context of Cayley graphs. It implies the existence of graph height functions for finitely generated solvable groups. The case of non-unimodular graphs may be handled similarly, but the resulting graph height functions need not be harmonic. Group height functions, as well as the graph height functions of the previous paragraph, are non-constant harmonic functions with linear growth and an ad-ditional property of having periodic differences. The existence of such functions on Cayley graphs is a topic of interest beyond their applications in the theory of self-avoiding walks.

연구 동기 및 목표

• 케일리 그래프의 연결 상수의 국소성을 확립하여, 이전 결과에서 요구된 그래프 높이 함수의 필요성을 넘어서는 데 목적이 있다.
• 유한 생성 무한군에서 군 높이 함수의 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하는 데 목적이 있다.
• 군 높이 함수가 선형 성장과 주기적 차수를 갖는 비상수 조화 함수임을 보여주는 데 목적이 있다.
• 단조성 조건 하에서, 케일리 그래프를 포함한 광범위한 전이성 그래프의 클래스에 대해 그래프 높이 함수의 존재를 확장하는 데 목적이 있다.
• 자기 피하기 보행 이론을 초월하여, 케일리 그래프에서 선형 성장과 주기적 차수를 갖는 조화 함수의 구조적 의미를 탐구하는 데 목적이 있다.

제안 방법

• 케일리 그래프의 대칭적 구조에 맞춘 특수한 그래프 높이 함수인 군 높이 함수의 개념을 도입한다.
• 결함성과 단조성과 같은 군 이론적 성질에 기반하여 군 높이 함수의 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 설정한다.
• 그래프 위의 조화 함수 이론을 적용하여, 단조성 조건 하에서 그래프 높이 함수가 조화 함수가 되도록 구성할 수 있음을 보여준다.
• 브릿지 상수를 사용하여 국소적 그래프 구조와 전역적 연결 상수 행동 간의 관계를 규명한다.
• 군 높이 함수가 선형 성장과 주기적 차수를 갖는 비상수 조화 함수를 유도함을 보여준다.
• 이전의 구축 증명을 단조성 조건을 유연하게 적용할 수 있도록 확장함으로써, 케일리 그래프의 맥락에서 이 조건이 유리한 조건임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 군 이론적 조건 하에서 케일리 그래프가 연결 상수의 국소성 정리에 필요한 군 높이 함수를 갖는가?
• RQ2 단조성이 케일리 그래프에서 그래프 높이 함수의 존재성과 조화성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 군 높이 함수와 케일리 그래프에서 선형 성장과 주기적 차수를 갖는 조화 함수 간의 관계는 어떠한가?
• RQ4 양의 결함성을 가진 군에 대해 군 높이 함수를 활용하여 연결 상수의 국소성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 비상수 조화 함수가 선형 성장과 주기적 차수를 갖는 경우, 케일리 그래프에서 어떤 구조적 성질을 보이는가?

주요 결과

• 유한 생성 무한군에서 군 높이 함수의 존재에 대한 필요 및 충분 조건이 규명되었으며, 이는 군의 결함성과 단조성과 연결된다.
• 유한 생성 아벨 군의 경우 단조성 구조로 인해 군 높이 함수가 항상 존재함을 보였다.
• 케일리 그래프를 포함한 광범위한 전이성 그래프의 클래스에서, 군이 단조성일 경우 그래프 높이 함수가 조화 함수로 존재함을 보였다.
• 결과적으로 도출된 그래프 높이 함수는 비상수이며, 조화 함수이며, 선형 성장과 주기적 차수를 갖는다.
• 양의 결함성을 가진 군의 케일리 그래프에서 군 높이 함수의 존재를 통해 연결 상수의 국소성이 확립되었다.
• 자기 피하기 보행 이론을 초월하여, 주기적 차수 성질을 갖는 케일리 그래프에서 내재된 조화 함수의 구조적 특성을 드러냈다.