[논문 리뷰] Long-range Ising chains: eigenstate thermalization and symmetry breaking of excited states

Angelo Russomanno, Michele Fava외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 11.

Quantum many-body systems인용 수 6

한 줄 요약

이 연구는 거대 규모 정확한 대각화를 사용하여 거듭제곱 법칙으로 감쇠하는 상호작용을 갖는 장거리 양자 이징 스핀 체인(감쇠 지수 α)을 조사한다. 수치적 증거를 통해 α > 0 이면 항상 에르고딕 행동이 나타나며, 고에너지 밀도에서는 고유상태 열평형이 발생하고, 약한 횡방향 자기장에서 유한한 에너지 밀도에서는 대칭성 붕괴가 지속됨을 보여주어 장거리 시스템에서의 열평형과 대칭성에 관한 핵심 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We use large-scale exact diagonalization to study the quantum Ising chain in a transverse field with long-range power-law interactions decaying with exponent $\alpha$. Analyzing various eigenstate and eigenvalue properties, we find numerical evidence for ergodic behavior in the thermodynamic limit for $\alpha>0$, extit{i.~e.} for the slightest breaking of the permutation symmetry at $\alpha=0$. Considering {an} excited-state fidelity susceptibility, {an} energy-resolved average level-spacing ratio and the eigenstate expectations of observables, we observe that a behavior consistent with eigenstate thermalization first emerges at high energy densities for finite system sizes, as soon as $\alpha>0$. We argue that ergodicity moves towards lower energy densities for increasing system sizes. While we argue the system to be ergodic for any $\alpha>0$, we also find a peculiar behaviour near $\alpha=2$ suggesting the proximity to a yet unknown integrable point. We further study the symmetry-breaking properties of the eigenstates. We argue that for weak transverse fields the eigenstates break the $\mathbb{Z}_2$ symmetry, and show long-range order, at finite excitation energy densities for all the values of $\alpha$ we can technically address ($\alpha\leq 1.5$). Our contribution settles central theoretical questions on long-range quantum Ising chains and are also of direct relevance for the nonequilibrium dynamics in such systems such as realized experimentally in systems of trapped ions.

연구 동기 및 목표

• 장거리 이징 체인에서 상호작용이 거듭제곱 법칙으로 감쇠하는 경우, 열역학적 한계에서 에르고딕 행동을 보이는지 확인하는 것.
• 에너지 밀도 및 시스템 크기를 통해 고유상태 열평형이 어떻게 나타나는지 조사하는 것.
• 특히 유한한 에너지 밀도에서 Z₂ 대칭성 붕괴의 고유상태 성질을 분석하는 것.
• α ≈ 2 근처에 알려지지 않은 해밀토니안의 적분 가능 점이 존재할 가능성 탐색하는 것.
• 장거리 양자 스핀 체계에서의 열평형과 질서에 관한 핵심 이론적 질문을 해결하는 것.

제안 방법

• 장거리 가로자기장 이징 해밀토니안의 고유상태와 고유값을 계산하기 위해 대규모 정확한 대각화를 사용한다. 상호작용 감쇠 지수는 α이다.
• 레벨 간격 비율을 에너지 해상도로 계산하여 레벨 통계를 평가하고, 에르고딕 및 비에르고딕 행동을 구분한다.
• 고유상태 허위 민감도를 사용하여 고유상태의 국소화 및 양자 상전이를 탐색한다.
• 국소 물리량의 고유상태 기댓값을 분석하여 열평형과 장거리 질서를 탐지한다.
• 에르고딕 행동의 시작 시스템 크기 의존성을 연구하여 열역학적 한계에서의 행동을 추론한다.
• 기술적 제약을 고려하여 α ≤ 1.5 범위를 집중적으로 분석하며, α ≈ 2 근처의 영역을 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 장거리 상호작용이 존재하더라도, α > 0 이면 장거리 이징 체인에서 에르고딕 행동이 나타나는가?
• RQ2 고유상태 열평형은 어느 에너지 밀도에서 처음 나타나며, 이는 시스템 크기에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 유한한 에너지 밀도에서 고유상태는 기저 상태의 Z₂ 대칭성을 어떻게 반영하는가?
• RQ4 α ≈ 2 근처에 임계점 또는 적분 가능 행동의 증거가 있는가?
• RQ5 장거리 질서와 고유상태의 열평형 성질 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 α > 0 에서 수치적으로 에르고딕 행동이 관측되며, 유한한 시스템에서 고에너지 밀도에서는 고유상태 열평형이 나타난다.
• 시스템 크기가 증가함에 따라 에르고딕 행동의 시작 지점이 낮은 에너지 밀도로 이동함을 확인하여 열역학적 한계에서 완전한 에르고딕 행동이 성립할 것으로 추론된다.
• 모든 α ≤ 1.5 및 약한 횡방향 자기장에서 고유상태는 Z₂ 대칭성을 깨지고 유한한 흥 excitations 에너지 밀도에서 장거리 질서를 나타낸다.
• α ≈ 2 근처에서 나타나는 특이한 행동은 잠재적인 알려지지 않은 적분 가능 점에 가까이 있다는 징후를 보인다.
• 고유상태에서 대칭성 붕괴가 지속되더라도, 모든 α > 0 에서 시스템이 에르고딕임을 주장한다.
• 결과는 장거리 상호작용을 갖는 트랩된 이온과 같은 실험적 시스템에서의 비평형 동역학에 직접적인 관련성을 갖는다.