[논문 리뷰] Eigenstate Thermalization and Spontaneous Symmetry Breaking in the One-Dimensional Transverse-Field Ising Model with Power-Law Interactions

Keith R. Fratus, Mark Srednicki|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 12.

Quantum many-body systems참고 문헌 40인용 수 13

한 줄 요약

이 연구는 거리에 따라 힘의 법칙에 따라 상호작용하는 1차원 횡방향자기장 이징모형에서 고유상태 열역학적 평형과 양자 혼돈을 입증한다. 이는 무질서가 없음에도 불구하고 대칭성 파괴 영역이 열역학적 행동과 GOE 수준 통계를 보임을 확인한다. 결과는 단일 대칭성 영역 내에서 강건하며, 장거리 상호작용을 가진 청정, 유한온도, 자발적 대칭성 파괴 영역에서 ETH와 혼돈 역학에 대한 첫 번째 확실한 증거를 제시한다.

ABSTRACT

We study eigenstate thermalization and related signatures of quantum chaos in the one-dimensional ferromagnetic transverse-field Ising model with power-law interactions. The presence of long-range interactions allows for a finite-temperature phase transition despite the one-dimensional geometry of the model. Unlike previous studies of eigenstate thermalization in non-disordered systems with finite temperature phase transitions, our model possesses sufficiently many energy eigenstates below the critical energy density to allow us to make a definitive statement about the presence of eigenstate thermalization and chaotic level statistics in the broken-symmetry phase.

연구 동기 및 목표

• 청정한 1차원 양자 이징모형에서 장거리 상호작용을 가진 경우, 고유상태 열역학적 평형과 양자 혼돈이 대칭성 파괴 영역에서도 유지되는지 조사하기 위해.
• 이전 연구들이 작은 시스템 크기로 인해 대칭성 파괴 영역에서 충분한 에너지 고유상태를 확보하지 못한 한계를 극복하기 위해.
• 무질서가 없는 시스템에서 유한온도 전이를 가지는 자발적 대칭성 파괴 영역에서 고유상태 열역학적 평형과 대칭성 파괴 간의 명백한 연결 고리를 확립하기 위해.
• 특히 $|X+\rangle$ 상태와 같은 초기 제품 상태의 시간 진화를 연구하여 장거리 질서의 동적 발생을 예측하기 위해.

제안 방법

• 에너지 스펙트럼 전반에 접근하기 위해 거리에 따라 힘의 법칙에 따라 상호작용하는 27사이트 1차원 횡방향자기장 이징모형의 정확한 대각화.
• 자기모멘트 연산자의 고유상태 기대값 분석을 통해 고유상태 열역학적 평형 가설(ETH)을 검증.
• 레벨 간격 통계 계산을 통해 양자 혼돈을 평가하고, 가우시안 직교군(GOE)과 비교.
• 열역학적 평형이 일어나는 경우, 짝수 이징 대칭 영역 내 상태에 대해 시간 진화 중 질서 파라미터의 확률 분포를 연구.
• 열역학적 성질과 임계 에너지 밀도를 검증하기 위해 스 tochastic series expansion (SSE) 방법 사용.
• 힐베르트 공간을 짝수와 홀수 이징 대칭 영역으로 분리하여 대칭성 파괴 영역의 행동을 고립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 청정한 1차원 이징모형에서 장거리 상호작용을 가진 경우, 대칭성 파괴 영역에서 고유상태 열역학적 평형 가설이 성립하는가?
• RQ2 대칭성 파괴 영역에서 레벨 통계는 GOE 통계에 부합하는가? 이는 양자 혼돈을 나타낸다.
• RQ3 대칭성 영역에서 준비된 순수 양자 상태가 시간이 지남에 따라 정적인 이중피크 질서 파라미터 분포로 동적으로 진화할 수 있는가? 이는 자발적 대칭성 파괴를 나타낸다.
• RQ4 대칭성 파괴 영역 내 에너지 고유상태의 수는 시스템 크기와 어떻게 스케일링되며, 이는 열역학적 상을 지지하는가?

주요 결과

• 자기모멘트 연산자의 대각선 행렬 원소가 에너지의 부드러운 함수를 따라 변화하며, 열역학적 기대와 일치함으로써 고유상태 열역학적 평형의 명확한 징후를 보였다.
• 대칭성 파괴 영역에서의 레벨 간격 통계는 가우시안 직교군(GOE)의 통계와 일치하여, 양자 혼돈이 확인되었다.
• 임계 에너지 밀도 이하의 고유상태 수가 시스템 크기와 함께 충분히 증가하여 열역학적 상을 지지함을 확인하였으며, 이는 이전 연구의 핵심적 한계를 해결하였다.
• $|X+\rangle$ 초기 상태는 임계 값 이하의 에너지 밀도를 가지며, 시간이 지남에 따라 질서 파라미터의 정적 이중피크 분포로 동적으로 진화할 것으로 예측되었다. 이는 대칭성 파괴 행동을 반영한다.
• 결과는 단일 이징 대칭 영역 내에서 강건하며, 무질서나 대칭 영역 평균화 없이도 성립하여 이전 연구에 비해 중요한 진전을 이룬다.
• 교대 행동을 보이는 상태의 수가 지수적으로 증가하지 않는다는 점은 이 모형에서 'F1' 상과 같은 진정한 열역학적 상이 존재하지 않음을 배제한다.