[논문 리뷰] Looking for continuous local martingales with the crossing tree (Working Paper)

Owen D. Jones, David A. Rolls|ArXiv.org|2009. 11. 27.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 42인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확률과정의 수준집합을 통과하는 시간을 인코딩하는 트리 구조인 크로싱 트리(crossing tree)를 사용하여 연속 국소 마팅게일 가설에 대한 새로운 통계적 검정을 제안한다. 이 방법은 특히 짧은 데이터셋에서 제곱변동기반 검정보다 검정력(power)이 뛰어나며, 2003년 고빈도 FX 환율(예: AUD-USD, EUR-USD)에 대해 15분 이하의 시간스케일에서 연속 마팅게일 가설을 기각함으로써 미세구조 또는 점프 유사 행동을 시사한다.

ABSTRACT

We present statistical tests for the continuous martingale hypothesis. That is, whether an observed process is a continuous local martingale, or equivalently a continuous time-changed Brownian motion. Our technique is based on the concept of the crossing tree. Simulation experiments are used to assess the power of the tests, which is generally higher than recently proposed tests using the estimated quadratic variation (i.e., realised volatility). In particular, the crossing tree shows significantly more power with shorter datasets. We then show results from applying the methodology to high frequency currency exchange rate data. We show that in 2003, for the AUD-USD, GBP-USD, JPY-USD and EUR-USD rates, at small timescales (less than 15 minutes or so) the continuous martingale hypothesis is rejected, but not so at larger timescales. For 2003 EUR-GBP data, the hypothesis is rejected at small timescales and some moderate timescales, but not all.

연구 동기 및 목표

• 기존의 제곱변동 기반 방법보다 더 높은 검정력을 지닌 연속 국소 마팅게일 가설에 대한 통계적 검정을 개발하기 위해.
• 고빈도 외환 환율이 다양한 시간스케일에서 연속 국소 마팅게일 행동을 보이는지 조사하기 위해.
• 크로싱 트리 구조를 사용하여 확률과정의 소규모 확산 행동을 특성화하기 위해.
• 다양한 확산 과정에서 제안된 검정의 근본적 유형 I 오류와 통계적 검정력을 평가하기 위해.
• Feller의 제곱근 과정과 같은 확산 과정에서 통과 시간을 시뮬레이션하기 위한 임계 수준 δ를 결정하기 위해.

제안 방법

• 과정이 수준 집합을 통과하는 시간을 기록하여 크로싱 트리를 구성함으로써 소규모 확산 행동을 포착하기 위해.
• 크로싱 시간의 경험적 분포를 사용하여 정staionarity와 인지성 여부를 평가하고, 브라운 운동 하에서 기대되는 분포와 일치하는지 검토하기 위해.
• 크로싱 시간 분포가 이론적 기대치와 얼마나 잘 맞는지 평가하기 위해 다수의 분포 검정(예: 카이제곱, G-검정, 콜모고로프-스미르노프 검정)을 적용하기 위해.
• 크로싱 시간 간의 의존성 구조를 탐지하기 위해 독립성 검정(예: 자기상관, 월드-울프위츠, 오브라이언 검정)을 수행하여 연속 국소 마팅게일과 불일치하는 경우를 식별하기 위해.
• 유한한 Δ 시뮬레이션에서의 δ(레벨 간격) 추정치를 시뮬레이션 및 회귀 외삽을 통해 추정하여 고정 간격 내에서 목표 크로싱 수를 확보함으로써 통과 시간의 정확한 샘플링을 보장하기 위해.
• 브라운 운동(드리프트 포함), 오르누슈-울렌벡 과정, 분수 Brown 운동, Feller 과정 등을 시뮬레이션한 과정을 대상으로 크로싱 트리 검정의 검정력과 제곱변동 기반 검정을 비교하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크로싱 트리 방법은 제곱변동 기반 검정보다 연속 국소 마팅게일 가설에서의 이탈을 더 효과적으로 탐지하는가?
• RQ2 고빈도 FX 환율이 연속 국소 마팅게일 가설에서 이탈하는 시간스케일은 어느 정도인가?
• RQ3 특히 과정이 통과 시간에서 정staionary하지 않은 경우, 다양한 확산 과정에서의 경험적 크로싱 시간 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 Feller의 제곱근 과정과 같은 시간이 변경된 확산 과정에 대해 시뮬레이션과 외삽을 통해 δ를 신뢰성 있게 추정할 수 있는가?
• RQ5 크로싱 시간 분포의 비정staionarity가 이들의 기반으로 된 통계적 검정의 타당성에 어느 정도 영향을 미치는가?

주요 결과

• 크로싱 트리 기반 검정은 소규모 확산 행동에 민감한 점을 감안할 때, 특히 짧은 데이터셋에서 제곱변동 기반 검정보다 유의미하게 높은 통계적 검정력을 보인다.
• 2003년 FX 데이터에서 AUD-USD, GBP-USD, JPY-USD, EUR-USD에 대해 15분 이하의 시간스케일에서 연속 마팅게일 가설이 기각되었으며, 이는 고빈도에서 마팅게일 행동이 아님을 시사한다.
• EUR-GBP의 경우 소규모 및 일부 중간 시간스케일에서 가설이 기각되었지만, 모든 스케일에서 그렇지 않아, 이질적인 마이크로구조 효과가 존재함을 시사한다.
• Feller의 제곱근 과정에 대한 경험적 크로싱 시간 분포는 1000회의 통과 시간 이후에도 비정staionary함을 보이며, 정staionarity를 전제로 한 가정을 무효화한다.
• 유한한 Δ 시뮬레이션에서의 δ 추정치를 회귀 기반 외삽을 통해 도출한 결과, Feller 과정에서 κ=6, σ=1일 때 5단위 시간 내 1250회의 크로싱을 위해 δ ≈ 0.028163의 안정된 추정치를 확보하였다.
• 이 방법은 평균 회귀나 장기적 의존성을 보이는 과정(예: 오르누슈-울렌벡 과정, 분수 Brown 운동)에서 연속 국소 마팅게일 가설의 이탈을 성공적으로 식별한다.