[논문 리뷰] Martingale-type processes indexed by the real line

Andreas Basse-O’Connor, Svend-Erik Graversen외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수선으로 인덱스가 매겨진 증분 마링게일—임의의 시간 간격에서의 증분이 마링게일을 이루는 과정—을 도입하고 분석하며, 시간이 마이너스 무한대에 접근할 때의 행동에 초점을 맞춘다. 거의 확실한 한계 $ M_{-\frown} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ 가 존재하기 위한 필요 및 충분 조건을 확립하며, 두 가지 유형의 스트로스틱 적분—증분 적분과 $-\infty$에서의 적절한 스트로스틱 적분—을 정의한다. 후자의 적분이 존재하는 것은 증분 적분이 거의 확실한 한계를 가지며, 그 결과 과정이 국소 마링게일이 되는 것과 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

Some classes of increment martingales, and the corresponding localized classes, are studied. An increment martingale is indexed by the real line and its increment processes are martingales. We focus primarily on the behavior as time goes to minus infinity in relation to the quadratic variation or the predictable quadratic variation, and we relate the limiting behavior to the martingale property. Finally, integration with respect to an increment martingale is studied.

연구 동기 및 목표

• 실수선으로 인덱스가 매겨진 증분 마링게일을 정의하고 연구하는 것—모든 간격에서의 증분 과정이 마링게일이 되는 것.
• 한계 $ M_{-\frown} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ 가 거의 확실하게 존재하는 조건을 특성화하는 것.
• 예측 가능 또는 이차 변동량을 이용해 $ M - M_{-\frown} $ 가 국소 마링게일이 되는 데 필요한 필수 조건을 설정하는 것.
• 증분 마링게일에 대한 두 가지 유형의 스트로스틱 적분—증분 적분과 $-\infty$에서의 적절한 적분—을 정의하고 분석하는 것.
• 브라운 운동의 증분에 의해 생성된 필터레이션에서 마링게일 표현 결과를 제공하는 것.

제안 방법

• 모든 $ s \in \mathbb{R} $ 에 대해 $ (M_{t+s} - M_s)_{t \geq 0} $ 가 마링게일이 되는 실수선으로 인덱스가 매겨진 증분 마링게일 $ M = (M_t)_{t \in \mathbb{R}} $ 의 개념을 도입하며, 표준 마링게일을 일반화한다.
• 두 가지 스트로스틱 적분을 정의한다: 증분 적분 $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $ 과 $-\infty$에서의 적절한 적분 $ \phi \bullet M $ 으며, 후자의 존재는 전자의 거의 확실한 한계가 존재하고 그 차이가 국소 마링게일이 되는 것과 동치이다.
• 증분 마링게일의 분해를 사용하여 $ M_{-\infty} $ 의 존재성을 예측 가능한 이차 변동량 $ \langle M \rangle $ 또는 이차 변동량 $ [M] $ 의 적분 가능성과 연결한다.
• 자카드와 슈리야예프(2003)의 표준 마링게일 이론과 스트로스틱 적분을 적용하며, $ -\infty $ 에서의 행동에 중점을 두고, 예측 가능 과정과 정지 시간을 사용하여 조건을 유도한다.
• $ \mathcal{L}L^1(M) $ 가 스트로스틱 적분 $ \phi \bullet M $ 이 잘 정의되고 국소 마링게일이 되는 최대 클래스임을 증명한다.
• 마링게일 표현 결과를 입증한다: $ \mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B} $ 의 필터레이션에서 임의의 $ M \in \mathcal{ILM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ 는 $ \phi \in \mathcal{IL}L^1(B) $ 에 대해 $ M = \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} B $ 로 표현 가능하며, 임의의 $ M \in \mathcal{LM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ 는 $ M = M_{-\infty} + \phi \bullet B $ 로 표현 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증분 마링게일 $ M $ 에 대해 $ \lim_{t\to-\infty} M_t $ 가 거의 확실하게 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 언제 $ M - M_{-\infty} $ 가 국소 마링게일이 되며, 이를 예측 가능 또는 이차 변동량을 통해 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 $-\infty$ 에서의 스트로스틱 적분 $ \phi \bullet M $ 이 존재하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 증분 적분 $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $ 과 적절한 적분 $ \phi \bullet M $ 은 어떻게 관련되어 있으며, 후자가 언제 잘 정의되는가?
• RQ5 브라운 운동의 증분 필터레이션에서 모든 증분 국소 마링게일은 그 브라운 운동에 대한 적분으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 한계 $ M_{-\infty} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ 가 거의 확실하게 존재하는 것은 예측 가능한 이차 변동량 $ \langle M \rangle $ 가 $ -\infty $ 에서 유한한 것과 동치이며, 특히 연속 과정의 경우 조건이 매우 단순하다.
• $ M - M_{-\infty} $ 가 국소 마링게일이 되는 것은 이차 변동량 $ [M] $ 이 $ -\infty $ 에서 국소 적분 가능하거나, 동치로 $ \langle M \rangle $ 가 국소 유한한 것과 동치이다.
• 스트로스틱 적분 $ \phi \bullet M $ 이 잘 정의되는 것은 증분 적분 $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $ 이 $ -\infty $ 에서 거의 확실한 한계를 가지며, $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M - \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M_{-\infty} $ 가 국소 마링게일이 되는 것과 동치이다.
• $ \mathcal{L}L^1(M) $ 는 적분 $ \phi \bullet M $ 이 정의될 수 있는 최대 집합이며, 모든 $ \phi \in \mathcal{L}L^1(M) $ 에 대해 $ \phi \bullet M_{-\infty} = 0 $ 이다.
• 브라운 운동 $ B $ 의 증분에 의해 생성된 필터레이션에서, 모든 $ M \in \mathcal{ILM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ 는 어떤 $ \phi \in \mathcal{IL}L^1(B) $ 에 대해 $ M = \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} B $ 로 표현 가능하며, 모든 $ M \in \mathcal{LM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ 는 $ M = M_{-\infty} + \phi \bullet B $ 로 표현 가능하다.
• 연속적인 $ M $ 에 대해 $ M_{-\infty} $ 가 존재하는 조건은 $ \sigma $ 가 변동성 과정일 때 모든 $ t $ 에 대해 $ \int_{-\infty}^t \sigma_u^2 du < \infty $ 이며, 이는 레비의 특성화를 일반화한다.