[논문 리뷰] Loop coproduct in Morse and Floer homology

Kai Cieliebak, Nancy Hingston외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 다양체의 자유 루프 공간의 호모로지 위에 직접적인 모어스 이론적 구성법을 통해 루프 코곱을 정의하며, 코 tangent 번들의 양성 심플렉틱 호모로지의 계속성 코곱과 동형임을 증명한다. 에너지 함수에 대한 모어스 이론과 선형 해밀토니안, 에너지 함수의 제곱근을 사용하여, 필터링된 체인 동형사상과 구획된 구멍이 있는 원환대의 매니폴드를 이용해 저자들은 비터보 동형사상이 루프 코곱과 계속성 코곱을 서로 뒤섞는다는 것을 보이며, 줄임된 루프 호모로지의 개념을 도입하여 가역적, 코가역적, 단위 원소를 갖는 무한소 반대칭 이대칭 대수적 구조의 자연스러운 정의역을 제공한다.

ABSTRACT

By a well-known theorem of Viterbo, the symplectic homology of the cotangent bundle of a closed manifold is isomorphic to the homology of its loop space. In this paper we extend the scope of this isomorphism in several directions. First, we give a direct definition of {\em Rabinowitz loop homology} in terms of Morse theory on the loop space and prove that its product agrees with the pair-of-pants product on Rabinowitz Floer homology. The proof uses compactified moduli spaces of punctured annuli. Second, we prove that, when restricted to {\em positive} Floer homology, resp.~loop space homology relative to the constant loops, the Viterbo isomorphism intertwines various constructions of secondary pair-of-pants coproducts with the loop homology coproduct. Third, we introduce {\em reduced loop homology}, which is a common domain of definition for a canonical reduction of the loop product and for extensions of the loop homology coproduct which together define the structure of a commutative cocommutative unital infinitesimal anti-symmetric bialgebra. Along the way, we show that the Abbondandolo-Schwarz quasi-isomorphism going from the Floer complex of quadratic Hamiltonians to the Morse complex of the energy functional can be turned into a filtered chain isomorphism by using linear Hamiltonians and the square root of the energy functional.

연구 동기 및 목표

• 자유 루프 공간의 호모로지 위에 루프 코곱을 직접적인 모어스 이론적 정의로 제공한다.
• 이 루프 코곱이 비터보 동형사상 하에서 양성 심플렉틱 호모로지의 계속성 코곱과 일치함을 증명한다.
• 단위 원소, 가환, 코가환, 무한소 반대칭 이대칭 대수적 구조의 자연스러운 정의역으로서 줄임된 루프 호모로지를 정의하고 연구한다.
• 선형 해밀토니안과 에너지 함수의 제곱근을 사용하여 애본다누오-슐라르 쿼어아이소모르피즘을 필터링된 체인 동형사상으로 확장한다.
• 유닛 코 tangent 번들의 심플렉틱 호모로지의 위상적 대응체를, 오일러 특성 수를 포함하는 체인 사상의 콘의 형태로 구축한다.

제안 방법

• 에너지 함수에 대한 모어스 이론을 사용하여, 국소계수를 갖는 계수로 휘어진 루프 공간의 호모로지 위에 루프 코곱을 구성한다.
• 구멍이 있는 원환대의 구획된 매니폴드를 사용하여, 코프로덕트를 뒷받침하는 쌍의 팬 타입의 연산을 정의하고 분석한다.
• 라비노비츠 루프 호모로지를 체인 사상 ε: MC•(Λ) → MC•(M) → MC•(M) → MC•(Λ)의 콘의 호모로지로 정의한다. 여기서 중간 사상은 오일러 특성 수를 곱하는 것이다.
• 선형 해밀토니안과 에너지 함수의 제곱근을 사용할 경우, 이차 해밀토니안의 플로어 복합체에서 에너지 함수의 모어스 복합체로 가는 애본다누오-슐라르 사상이 필터링된 체인 동형사상이 됨을 증명한다.
• [20]의 A₂⁺-구조 이론을 사용하여 플로어 복합체와 모어스 복합체 사이의 A₂⁺-구조의 쿼어아이소모르피즘을 구성한다.
• 줄임된 루프 호모로지를 coker(ε)로, 코호모로지를 ker(ε)로 정의하며, 필드 계수를 사용할 경우 루프 곱이 이에 내림내림되고 코곱이 이에 확장됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모어스 호모로지에서의 루프 코곱은 심플렉틱 위상수학에 의존하지 않고 직접적으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 비터보 동형사상 하에서 자유 루프 공간 위의 루프 코곱은 양성 심플렉틱 호모로지의 계속성 코곱과 동형인가?
• RQ3 유닛 코 tangent 번들의 심플렉틱 호모로지에 대한 올바른 위상적 모델은 루프 공간 호모로지의 어떤 형태인가?
• RQ4 애본다누오-슐라르 쿼어아이소모르피즘은 어떻게 필터링된 체인 동형사상으로 업그레이드될 수 있는가?
• RQ5 줄임된 루프 호모로지 위에 나타나는 대수적 구조는 무엇이며, 이는 루프 곱과 코곱을 어떻게 통합하는가?

주요 결과

• 비터보 동형사상 하에서, H•(Λ, Λ₀; η) 위의 루프 코곱은 SH>0•(D*M; ν) 위의 계속성 코곱과 필드 계수를 사용할 경우 동형이다.
• 오일러 특성 수를 포함하는 체인 사상의 콘의 호모로지로 정의된 라비노비츠 루프 호모로지는 루프 곱을 통한 자연스러운 링 구조를 지닌다.
• n ≠ 2일 때, SH•(S*M)와 라비노비츠 루프 호모로지 사이에 링 동형사상이 존재하며, 이는 ε, ι, π를 포함하는 다이어그램을 유지한다.
• 선형 해밀토니안과 에너지 함수의 제곱근을 사용할 경우, 애본다누오-슐라르 사상은 필터링된 체인 동형사상이 된다.
• 줄임된 루프 호모로지 위에 필드 계수를 사용할 경우 루프 코곱이 확장되며, 루프 곱이 내림내림되며, 이는 단위 원소, 가환, 코가환, 무한소 반대칭 이대칭 대수적 구조를 이룬다.
• 비트로보 동형사상은 SH>0•(D*M) 위의 계속성 코곱과 H•(Λ, Λ₀; η) 위의 루프 코곱을 정상적인 호모로지에 제한했을 때 서로 뒤섞는다.