[논문 리뷰] Low-degree testing for quantum states

Anand Natarajan, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 11.

Quantum Information and Cryptography인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다항로그 수준의 통신을 사용하는 한 라운드 이인자 양자 게임 $G_n$를 제안하며, 이는 양자 라즈-사프라 저도수 테스트의 양자 버전을 활용해 $n$-큐비트 얽힘을 강력하게 인증한다. 이는 이전 작업 대비 얽힘 인증 크기에 대해 지수적 향상을 이루며, 전략이 이상적인 얽힌 상태에 국소 등급변환으로 근접해 있을 경우에만 거의 완벽한 승리 확률을 보인다. 이는 새로운 QMA-난이도 및 양자 PCP 결과를 가능하게 한다.

ABSTRACT

For any integer $n\geq 2$ we construct a one-round two-player game $G_n$, with communication that scales poly-logarithmically with $n$, having the following properties. First, there exists an entangled strategy that wins with probability $1$ in $G_n$ and in which the players' outcomes are determined by performing generalized Pauli measurements on their respective share of an $n$-qudit maximally entangled state, with qudits of local dimension $q = \mathrm{poly}\log(n)$. Second, any strategy that succeeds with probability at least $1-\varepsilon$ in $G_n$ must be within distance $O((\log n)^c\varepsilon^{1/d})$, for universal constants $c,d\geq 1$, of the perfect strategy, up to local isometries. This is an exponential improvement on the size of any previously known game certifying $\Omega(n)$ qudits of entanglement with comparable robustness guarantees. The construction of the game $G_n$ is based on the classical test for low-degree polynomials of Raz and Safra, which we extend to the quantum regime. Combining this game with a variant of the sum-check protocol, we obtain the following consequences. First, we show that is QMA-hard, under randomized reductions, to approximate up to a constant factor the maximum acceptance probability of a multiround, multiplayer entangled game with $\mathrm{poly}\log(n)$ bits of classical communication. Second, we give a quasipolynomial reduction from the multiplayer games quantum PCP conjecture to the constraint satisfaction quantum PCP conjecture. Third, we design a multiplayer protocol with polylogarithmic communication and constant completeness-soundness gap for deciding the minimal energy of a class of frustration-free nonlocal Hamiltonians up to inverse polynomial accuracy.

연구 동기 및 목표

• 최소한의 통신으로 대규모 얽힘을 강력하게 인증하는 양자 게임을 설계하는 것.
• 라즈와 사프라의 고전적 저도수 테스트를 양자 영역으로 확장하여 얽힘 인증에 활용하는 것.
• 다인자 얽힌 게임의 수용 확률 근사화에 대한 복잡도론적 결과를 설정하는 것.
• 다인자 게임 양자 PCP 추측과 제약 만족 양자 PCP 추측 사이의 연결 고리를, 준다항식 감소를 통해 맺는 것.
• 역다항식 정확도로 과잉없는 비국소 해밀토니안의 기저 상태 에너지를 근사하는 낮은 통신 프로토콜을 설계하는 것.

제안 방법

• 큐비트 차원 $q = \mathrm{poly}\log(n)$를 가진 $n$-큐비트 최대 얽힘 상태에 대해 일반화된 파울리 측정을 사용하여 한 라운드 이인자 게임 $G_n$을 구성한다.
• 고전적 라즈-사프라 저도수 테스트를 양자 환경으로 확장하여 유한체 위의 저도수 다항식을 검증하는 양자 테스트를 만든다.
• 게임 $G_n$을 강력한 얽힘 증거로 사용하여, 임의의 전략이 승리 확률 $1 - \varepsilon$로 승리한다면, 국소 등급변환을 제외한 이상적인 전략과의 거리가 $O((\log n)^c \varepsilon^{1/d})$ 이내여야 함을 보장한다.
• 게임을 합계 체크 프로토콜의 변형과 결합하여 양자 증거의 검증과 에너지 추정을 가능하게 한다.
• 다인자 얽힌 게임의 최대 수용 확률 근사화에 대해, 랜덤화된 감소 하에 QMA-난이도를 증명하기 위해 프레임워크를 적용한다.
• 다인자 게임 양자 PCP 추측에서 제약 만족 양자 PCP 추측으로의 준다항식 감소를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항로그 통신을 사용하는 양자 게임이 강력한 타당성 보장을 통해 $\Omega(n)$ 큐비트의 얽힘을 인증할 수 있는가?
• RQ2 라즈와 사프라의 고전적 저도수 테스트는 어떻게 양자 영역으로 확장되어 얽힘 인증에 활용될 수 있는가?
• RQ3 이러한 강력한 양자 테스트가 양자 증거 체계에 복잡도론적 영향을 미치는가?
• RQ4 이러한 게임을 사용하여, 역다항식 정확도로 과잉없는 비국소 해밀토니안의 기저 상태 에너지를 낮은 통신으로 근사할 수 있는가?
• RQ5 준다항식 감소 하에 다인자 게임 양자 PCP 추측과 제약 만족 양자 PCP 추측 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 게임 $G_n$은 전연수 상수 $c,d \geq 1$에 대해 타당성 한계를 $O((\log n)^c \varepsilon^{1/d})$로 확보하며, 이는 임의의 $1 - \varepsilon$ 승리 전략이 국소 등급변환을 제외한 이상적인 전략과 가까워야 함을 보장한다.
• 이 구조는 유사한 타당성 수준을 갖는 이전 게임 대비 얽힘 인증 크기에 대해 지수적 향상을 제공한다.
• 다인자 얽힌 게임의 최대 수용 확률 근사화에 대해, 랜덤화된 감소 하에 일정 요소의 정확도로 QMA-난이도를 보인다. 이는 $\mathrm{poly}\log(n)$의 고전적 통신을 사용하더라도 마찬가지다.
• 다인자 게임 양자 PCP 추측에서 제약 만족 양자 PCP 추측으로의 준다항식 감소가 확립되었다.
• 기저 상태 에너지를 역다항식 정확도 내에서 근사하기 위해, 다인자 프로토콜을 설계하였으며, 이는 다항로그 통신과 일정한 완전성-타당성 갭을 갖는다.