[논문 리뷰] Lower Bounds for Learning Quantum States with Single-Copy Measurements

Angus Lowe, Ashwin Nayak|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 29.

Machine Learning and Algorithms인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 단일 복사본, 비적응 또는 적응 측정을 사용한 양자 상태 학습에 대해 샘플 복잡도의 날카운 하한을 확립한다. 패러티 톰그래피가 정보 이론적으로 최적임을 증명하고, 측정이 효율적으로 실행 가능한 경우 적응성이 어떤 이점도 제공하지 않음을 보이며, 질량-r 상태에 대해 Ω(r²d/ε²)의 샘플 복잡도 하한과, 影상 톰그래피에 대해 Ω(d log M / ε²)의 하한을 제시한다.

ABSTRACT

We study the problems of quantum tomography and shadow tomography using measurements performed on individual, identical copies of an unknown $d$-dimensional state. We first revisit a known lower bound due to Haah et al. (2017) on quantum tomography with accuracy $ε$ in trace distance, when the measurements choices are independent of previously observed outcomes (i.e., they are nonadaptive). We give a succinct proof of this result. This leads to stronger lower bounds when the learner uses measurements with a constant number of outcomes. In particular, this rigorously establishes the optimality of the folklore ``Pauli tomography" algorithm in terms of its sample complexity. We also derive novel bounds of $Ω(r^2 d/ε^2)$ and $Ω(r^2 d^2/ε^2)$ for learning rank $r$ states using arbitrary and constant-outcome measurements, respectively, in the nonadaptive case. In addition to the sample complexity, a resource of practical significance for learning quantum states is the number of different measurements used by an algorithm. We extend our lower bounds to the case where the learner performs possibly adaptive measurements from a fixed set of $\exp(O(d))$ measurements. This implies in particular that adaptivity does not give us any advantage using single-copy measurements that are efficiently implementable. We also obtain a similar bound in the case where the goal is to predict the expectation values of a given sequence of observables, a task known as shadow tomography. Finally, in the case of adaptive, single-copy measurements implementable with polynomial-size circuits, we prove that a straightforward strategy based on computing sample means of the given observables is optimal.

연구 동기 및 목표

• 단일 복사본 측정을 사용한 양자 상태 톰그래피의 정보 이론적 하한을 샘플 복잡도에 대해 확립하기.
• 측정이 효율적으로 실행 가능한 경우, 적응 측정 전략이 비적응 전략보다 샘플 복잡도에서 어떤 이점도 제공하는지 여부를 규명하기.
• 단일 복사본 측정 제약 조건 하에서 影상 톰그래피의 샘플 복잡도를 분석하기.
• 패러티 톰그래피 알고리즘의 샘플 복잡도 측면에서의 최적성을 엄밀히 증명하기.
• 측정 효율성(고유 설정 수)과 샘플 복잡도 사이의 트레이드오프를 정량화하기.

제안 방법

• 랭크-일치 측정 연산자에 의존하지 않고, 확률 분포 간 χ²-발산을 사용하여 하한을 유도한다.
• χ²-발산에 대한 측정 집중을 적용하여, 고정된 exp(O(d)) 측정 설정 집합을 사용할 때 적응 측정 전략으로의 하한을 확장한다.
• 클래식한 影상 톰그래피에서 관측량의 표본 평균의 집중을 분석하기 위해 버나이스의 부등식을 적용한다.
• 양자 상태에 대한 패킹 추론을 구성하여 랭크 r과 차원 d에 의존하는 하한을 도출한다.
• i.i.d. 측정을 사용하여 기대값에 대한 비편향 추정량을 계산함으로써 클래식한 影상 프레임워크를 분석한다.
• 측정이 효율적이고 결과 수가 일정한 경우, 표본 평균을 계산하는 것이 최적이며, 이는 알려진 정보 이론적 하한과 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 양자 상태를 트레이스 거리 ε로 학습하기 위해 필요한 최소한의 단일 복사본 측정 수는 얼마인가?
• RQ2 고정된, 효율적으로 실행 가능한 측정 설정 집합을 사용할 때, 적응성이 샘플 복잡도에서 어떤 이점도 제공하는가?
• RQ3 패러티 톰그래피 알고리즘이 양자 상태 학습의 샘플 복잡도 측면에서 최적인가?
• RQ4 단일 복사본 측정을 사용할 때 질량-r 양자 상태 학습에 대한 가장 날카운 샘플 복잡도 하한은 무엇인가?
• RQ5 고유 측정 설정 수는 양자 상태 학습의 샘플 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 비적응 단일 복사본 톰그래피에 대해 Ω(d³/ε²)의 하한을 확립하였으며, 이는 KRT17 및 GKKT20의 상한과 일치한다.
• 랭크-r 상태에 대해, 임의의 단일 복사본 측정 하에서 샘플 복잡도 하한은 Ω(r²d/ε²)이며, 일정한 결과 수를 갖는 측정에 대해서는 Ω(r²d²/ε²)이다.
• 측정 설정 집합이 exp(O(d))로 제한된 경우, 적응 측정 전략이 샘플 복잡도를 향상시키지 못함을 보이며, 이는 이 영역에서 적응성의 이점이 없음을 시사한다.
• 이중 결과 측정을 사용한 클래식한 影상 프레임워크는 M개의 관측량을 예측하기 위해 샘플 복잡도 O(d log M / ε²)를 달성하며, 알려진 하한과 log²(M) 요소 이내로 일치한다.
• 패러티 톰그래피 알고리즘이 샘플 복잡도 측면에서 정보 이론적으로 최적이며, 유도된 하한과 일치함을 보였다.
• 다항식 크기의 회로로 실행 가능한 적응형 단일 복사본 측정에 대해서도, 관측량의 표본 평균 계산이 최적이며, 이보다 더 나은 전략은 존재하지 않는다.