[논문 리뷰] Lower Bounds on the Generalized Central Moments of the Optimal Alignments Score of Random Sequences

Ruoting Gong, Christian Houdré외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 19.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주어진 가정 하에서 일반화된 중심모멘트와 지수모멘트에 대한 날카운 점근적 하한을 도출하기 위해 새로운 랜덤 변환 방법을 사용하며, 주 가정이 실패할 경우 균일 근사 기법을 적용한다. 주요 기여는 이진 문자열에서 최장 공통 부분문자열(LCS)의 비어 있지 않은 하한을 유도하는 것으로, 관련된 속도 함수에 대한 局부 상한도 포함된다.

ABSTRACT

We present a general approach to the problem of determining tight asymptotic lower bounds for generalized central moments of the optimal alignment score of two independent sequences of i.i.d. random variables. At first, these are obtained under a main assumption for which sufficient conditions are provided. When the main assumption fails, we nevertheless develop a "uniform approximation" method leading to asymptotic lower bounds. Our general results are then applied to the length of the longest common subsequence of binary strings, in which case asymptotic lower bounds are obtained for the moments and the exponential moments of the optimal score. As a byproduct, a local upper bound on the rate function associated with the length of the longest common subsequences of two binary strings is also obtained.

연구 동기 및 목표

• i.i.d. 무작위 시퀀스에서 최적 정렬 점수의 일반화된 중심모멘트에 대한 점근적 하한을 도출하는 것.
• 일반 방법의 주 가정이 실패할 경우, 이를 보완하기 위해 '균일 근사' 기법을 도입하여 모멘트를 유한하게 제약하는 것.
• 강하게 비대칭적인 분포를 가진 이진 문자열에서의 최장 공통 부분문자열(LCS)의 구체적 사례에 일반 프레임워크를 적용하는 것.
• 이진 문자열에서 LCS 점수의 모멘트와 지수모멘트에 대한 비점근적 및 점근적 하한을 확립하는 것.
• 두 개의 i.i.d. 이진 문자열의 LCS에 관련된 속도 함수에 대한 국부적 상한을 도출하는 것.

제안 방법

• 시퀀스의 분포를 변화시켜 정렬 점수의 측정 가능한 차이를 유도하는 랜덤 변환 기반 일반 방법을 제안한다.
• 일반화된 중심모멘트에 대한 날카운 하한을 모멘트 생성 함수 기법을 통해 도출할 수 있도록 하는 주 가정을 도입한다.
• 주 가정이 실패할 경우, 여전히 점근적 하한을 확보하기 위해 '균일 근사' 방법을 적용한다.
• 강하게 비대칭적인 문자 확률을 가정함으로써 이진 LCS 사례에 방법을 적용하여 명시적인 모멘트 하한을 도출한다.
• 모멘트 생성 함수 부등식과 지수모멘트 추정을 사용하여 LCS 점수의 지수모멘트에 대한 하한을 도출한다.
• 특히 함수 $ S_n(t) $ 와 $ M_q( heta) $ 와의 관계를 이용하여 농도 및 대 deviation 추론을 통해 정규화된 모멘트 비율의 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 무작위 시퀀스에서 최적 정렬 점수의 일반화된 중심모멘트에 대한 날카운 점근적 하한은 무엇인가?
• RQ2 일반 방법의 주 가정이 실패할 경우 이러한 하한을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 강하게 비대칭적인 분포를 가진 이진 문자열에서 최장 공통 부분문자열(LCS)의 모멘트와 지수모멘트에 대한 점근적 하한은 무엇인가?
• RQ4 두 개의 i.i.d. 이진 문자열의 LCS에 관련된 속도 함수에 대해 국부적 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 랜덤 변환 방법이 정렬 점수 분포에 대해 비어 있지 않은 하한을 도출할 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 강하게 비대칭적인 분포를 가진 이진 LCS 케이스에서, $ \frac{S_n^{(3)}(t)}{S_n(t)} \to 1 $ 이다. $ n \to \infty $ 일 때, 중심화된 LCS 점수의 지수모멘트는 작은 $ t $ 에 대해 $ (1-\theta) M_q(\theta)^{2n} $ 보다 아래로 제한된다.
• 적절한 조건 하에서 모든 $ n \to \infty $ 에 대해 지수모멘트 $ \bb{E}\big[e^{t(L_n - \bb{E}[L_n])}\big] $ 는 $ (1-\theta) M_q(\theta)^{2n} $ 보다 아래로 제한된다.
• 분석의 부산물로, 두 개의 이진 문자열의 LCS에 관련된 속도 함수에 대한 국부적 상한이 도출된다.
• 강한 비대칭성 조건 하에서, LCS 점수의 분산과 고차 모멘트에 대한 비어 있지 않은 하한이 도출된다.
• 비대칭 조건(가정 6.1)이 성립하고 간격 페널티 $ \theta $ 가 충분히 작을 경우, LCS를 초월한 더 일반적인 스코링 체계로도 결과가 확장된다.
• 주정리의 일반화된 버전을 사용할 경우, $ |\bb{A}| > 2 $ 인 모델에도 이 프레임워크가 적용되며, 변환에서 상수 $ A $ 를 적절히 스케일링하면 여전히 유효하다.