[논문 리뷰] Lp estimates for the homogenization of stokes problem in a perforated domain

Amina Mecherbet, Matthieu Hillairet|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 18.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $N$개의 이동 입자를 포함한 다공성 도메인에서 스토크스 문제의 동질화에 대한 $L^p$-노름 정량적 추정을 수립하며, 속도장 $u^N$이 스토크스-브링크만 방정식의 해 $ar{u​}$로 수렴함을 보여준다. 균일한 간격, 유계 반경, 그리고 균일하게 유계인 운동 에너지를 조건으로 하면 수렴 속도는 입자 분포의 경험적 측도와 그 극한값 사이의 거리가 쌍대 헬더 또는 유계 리프시츠 노름에서 결정된다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the Stokes equations in a perforated domain. When the number of holes increases while their radius tends to 0, it is proven in [L. Desvillettes, F. Golse and V. Ricci. The mean field limit for solid particles in a Navier-Stokes flow. J. Stat. Phys. 131: 941-967, 2008], under suitable dilution assumptions, that the solution is well-approximated asymptotically by solving a Stokes-Brinkman equation. We provide here quantitative estimates in L p-norms of this convergence.

연구 동기 및 목표

• 다공성 도메인에 $N$개의 구멍이 있는 스토크스 속도장의 수렴에 대한 정량적 $L^p$-노름 추정을 제공하는 것.
• 입자 위치, 속도, 반경의 경험적 측도와 그 극한 분포 사이의 거리에 따른 수렴 속도 분석.
• 이전의 약한 수렴 결과를 극한 입자 분포에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 $L^p$-공간에서 강한 수렴 추정으로 확장하는 것.
• 입자 간격, 반경, 운동 에너지가 동질화 오차에 미치는 영향을 정량화하는 것.
• 쌍대 노름을 통한 경험적 밀도 및 유속과 극한 밀도 및 유속의 차이에 기반한 오차 한계 설정, Zolotarev 유형 및 헬더 유형 거리 포함.

제안 방법

• 다공성 도메인 내 입자 위치, 속도, 반경의 점점 증가하는 분포를 묘사하기 위해 경험적 측도 $S_N$의 사용.
• macroscopic 유속 $j^N$과 밀도 $\rho^N$을 $S_N$의 첫 번째 모멘트의 $6\pi$ 배로 정의하며, 이는 스토크스 법칙과 일치한다.
• 확장에 의한 $L^p$-노름 제어를 위해 컴act 임bedding 및 확장 기법의 적용, 여기서 $E_\Omega$는 영으로의 확장을 의미한다.
• 모래화자 $\chi_\delta$를 사용한 컨볼루션을 통한 정규화로, 확장된 속도장의 소볼레프 및 헬더 노름 제어.
• 쌍대 노름 추정을 통한 오차 추정 유도, 이는 $\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega})$ 및 $\mathcal{C}^{0,1}(\bar{\Omega})$ 공간의 쌍대공간을 포함한다.
• 경험적 및 극한 입자 분포 간의 불일치를 측정하기 위해 유계 리프시츠 노름과 Zolotarev 유형 거리의 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다공성 도메인에서 스토크스 문제의 해 $u^N$이 스토크스-브링크만 방정식의 해 $ar{u}$로 수렴하는 속도는 $L^p$-노름에서 얼마나 빠른가?
• RQ2 수렴 속도는 경험적 입자 분포와 그 극한 분포 사이의 거리가 헬더 공간의 쌍대공간에서 어떻게 의존하는가?
• RQ3 구멍의 균일한 간격, 유계 반경, 그리고 유계 운동 에너지가 $L^p$-오차 추정에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 경험적 및 극한 유속 및 밀도 필드 간의 Zolotarev 유형 거리를 사용하여 수렴 속도를 정량화할 수 있는가?
• RQ5 극한 입자 분포에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 오차의 최적 척도는 $N$의 함수로 어떻게 되는가?

주요 결과

• 간격, 반경, 운동 에너지 조건 하에서 $p \in (1, 3/2)$에 대해 $\|E_\Omega[u^N] - \bar{u}\|_{L^p(\Omega)}$의 $L^p$-노름은 $K\left(\|\rho^N - \rho\|_{(\mathcal{C}^{0,1}(\bar{\Omega}))^*} + \frac{1}{N^{1/3}}\right)^{1/3} E_0$로 유계이며.
• 모든 $\alpha \in (0,1)$에 대해 오차는 $\|E_\Omega[u^N] - \bar{u}\|_{L^p(\Omega)} \leq K\left(\|j^N - j\|_{(\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega}))^*} + \|\rho^N - \rho\|_{(\mathcal{C}^{0,\alpha}(\bar{\Omega}))^*} + \frac{E_0}{N^{\min(1/3, \alpha)}} + \frac{\|j\|_{L^q(\Omega)}}{N^{\alpha/3}}\right)$를 만족하며, 이는 $p \in (1, 3/(1+\alpha))$ 및 $q \in (3/(2-\alpha), \infty)$일 때 성립한다.
• 극한 분포의 헬더 정규성 $\alpha$가 높을수록 수렴 속도가 향상되며, $\alpha < 1/3$일 경우 $O(N^{-\alpha/3})$의 속도를 달성한다.
• 오차 추정은 경험적 및 극한 밀도 및 유속의 차이의 쌍대 노름에 의존하며, 운동 에너지 $E_0$에 명시적인 의존성이 있다.
• 모든 $N \geq (4R_0/C_0)^{3/2}$에 대해 일관된 상수를 가지며, 이는 점점 증가하는 영역에서의 유효성을 보장한다.
• 이 방법은 유계 리프시츠 및 Zolotarev 유형 거리 모두에 적용 가능하여 입자 분포 불일치 측정의 유연성을 제공한다.