[논문 리뷰] Lp Solutions of Quadratic BSDEs

Hanlin Yang|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 p > 1일 때 종단 조건이 L^p에 속하는 일반적인 이차 후행 확률 미분 방정식(이하 BSDE)에 대해 L^p 해의 존재성, 유일성 및 안정성을 확립한다. 약한 성장 조건과 볼록성 조건 하에서 이루어지며, L^p 유형의 추정과 θ-기법을 사용하여 비교 정리와 관련 이차 PDE의 점성 해에 대한 확률적 표현을 도출한다.

ABSTRACT

We study a general class of quadratic BSDEs with terminal value in Lp for p > 1. First of all, we give an Lp-type estimate and existence result. Under the additional assumption of monotonicity and convexity, we derive the comparison theorem, uniqueness and stability result via θ-technique (Briand and Hu [7]). The assumptions employed throughout this paper are rather weak and extend the quadratic BSDE literature. Finally, a probabilistic representation for the viscosity solution to the associated quadratic PDEs is given.

연구 동기 및 목표

• p > 1일 때 종단 조건이 L^p에 속하는 이차 BSDE에 대한 L^p 해의 존재성을 확립하는 것.
• 단조성과 볼록성 가정 하에서 비교 정리, 유일성 및 안정성 결과를 확장하는 것.
• 생성자에 대한 약한 성장 조건을 도입하여 이차 및 비이차 BSDE의 처리를 통합하는 것.
• 관련 이차 PDE의 점성 해에 대한 확률적 표현을 제공하는 것.
• 이전 결과를 종단 조건과 생성자에 대한 적분 가능성 및 성장 조건을 완화시켜 일반화하는 것.

제안 방법

• p ≥ 1일 때 |y|^p에 대한 일반화된 Itô 공식을 사용하여 L^p 유형의 사전 추정을 유도하는 것.
• Briand와 Hu(2003)의 θ-기법을 적용하여 볼록성과 단조성 조건 하에서 비교, 유일성 및 안정성을 증명하는 것.
• 국소화 절차와 단조 안정성의 조합을 통해 근사 유한 BSDE에서 해를 구성하는 것.
• Krylov의 추정을 사용하여 생성자 내 이차 성장 항 f(|y|)|z|^2를 제어하는 것.
• 마코프 프레임워크를 통해 BSDE를 정방 SDE와 연결하고 Feynman-Kac 공식을 적용하여 해를 구성하는 것.
• 점성 해 정의와 Itô 공식을 사용하여 해가 점성 의미에서 PDE를 만족함을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종단 조건이 L^p에 속하는 이차 BSDE가 L^p 해를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 종단 조건이 유계가 아닐 경우, 이차 BSDE에 대해 비교, 유일성 및 안정성 결과는 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 θ-기법은 성장 형태가 f(|y|)|z|^2인 이차 생성자를 다룰 수 있도록 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 이차 BSDE의 해와 관련된 PDE의 점성 해 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 생성자와 종단 조건에 대한 약한 가정은 해의 존재성과 정규성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 생성자에 대해 |F(t,y,z)| ≤ α_t + φ(|y|) + γ|z| + f(|y|)|z|^2 조건을 만족할 때, 이차 BSDE에 대한 L^p 유형의 사전 추정이 확립된다.
• 종단 조건과 ∫₀ᵀ α_s ds가 모두 p > 1일 때 L^p에 속할 경우, L^p 해의 존재성이 증명된다.
• 생성자의 단조성과 볼록성 조건 하에서 비교 정리가 성립하여 해의 순서 유지가 보장된다.
• 동일한 단조성과 볼록성 조건 하에서 θ-기법을 통해 해의 유일성이 확립된다.
• 동일한 조건 하에서 L^p 노름에서 해의 안정성이 증명된다.
• 확률적 표현이 도출된다: BSDE의 해 Y_t는 관련 이차 PDE의 점성 해이며, 다항식 성장 한계 |u(t,x)| ≤ c(1 + |x|^q)를 만족한다.