[논문 리뷰] Quadratic BSDEs with L 2 -terminal data Existence results, Krylov's estimate and Itô-Krylov's formula ∗

Khaled Bahlali, Mhamed Eddahbi외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유일성과 존재성을 입증한다. 제곱형 뒤집힌 확률미분방정식(QBSDEs)에 대해, 제곱적분 가능한 종단 데이터와 측정 가능한 생성자만을 가정하며, 기하급수적 모멘트나 생성자의 연속성의 필요성을 회피하는 새로운 접근법을 사용한다. 이는 Krylov 유형의 사전 추정치와 Itô-Krylov 변수변환 공식을 도입함으로써 가능해졌으며, 이는 제곱형 PDE의 점근적 해에 대한 새로운 존재성 결과를 이끌어낸다. 종단 조건이 제곱적분 가능한 경우에 대해 제곱형 BSDEs에 대한 존재성 결과를 도출한다.

ABSTRACT

In a first step, we establish the existence (and sometimes the uniqueness) of solutions for a large class of quadratic backward stochastic differential equations (QBSDEs) with continuous generator and a merely square integrable terminal condition. Our approach is different from those existing in the literature. Although we are focused on QBSDEs, our existence result also covers the BSDEs with linear growth, keepingsquare integrable in both cases. As byproduct, the existence of viscosity solutions is established for a class of quadratic partial differential equations (QPDEs) with a square integrable terminal datum. In a second step, we consider QBSDEs with measurable generator for which we establish a Krylov's type a priori estimate for the solutions. We then deduce an Ito-Krylov's change of variable formula. This allows us to establish various existence and uniqueness results for classes of QBSDEs with square integrable terminal condition and sometimes a merely measurable generator. Our results show, in particular, that neither the existence of expo- nential moments of the terminal datum nor the continuity of the generator are necessary to the existence and/or uniqueness of solutions for quadratic BSDEs. Some comparison theorems are also established for solutions of a class of QBSDEs.

연구 동기 및 목표

• 제곱적분 가능한 종단 조건과 연속적이거나 측정 가능한 생성자를 가진 제곱형 BSDEs의 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• QBSDE 이론에서 표준적인 가정인 종단 조건에 대한 기하급수적 모멘트와 생성자의 연속성의 필요성을 제거하는 것.
• 측정 가능한 생성자를 가진 QBSDEs에 대한 Krylov 유형의 사전 추정치를 도출하는 것.
• 해당 방정식을 위한 Itô-Krylov 변수변환 공식을 개발하는 것.
• L² 종단 데이터를 가진 일련의 제곱형 PDE에 대해 점근적 해의 존재성을 보여주는 것.

제안 방법

• 연속적인 생성자와 L² 종단 데이터를 가진 QBSDEs에 대한 새로운 존재성 접근법으로, 이전 방법들과는 다름.
• 측정 가능한 생성자를 가진 QBSDEs의 해에 대한 Krylov 유형의 사전 추정치를 확립하는 것.
• 최소한의 적분 조건 하에서 Itô-Krylov 변수변환 공식을 유도하는 것.
• Krylov 추정치와 변수변환 공식을 적용하여 측정 가능한 생성자를 가진 QBSDEs의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 이러한 결과를 활용하여 L² 종단 데이터를 가진 일련의 제곱형 PDE에 대해 점근적 해의 존재성을 확립하는 것.
• 일부 QBSDEs의 해에 대한 비교 정리들을 통합하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종단 조건에 대한 기하급수적 모멘트나 생성자의 연속성이 요구되지 않는 한, 제곱형 BSDEs의 해가 존재할 수 있는가?
• RQ2 측정 가능한 생성자와 L² 종단 데이터를 가진 QBSDEs에 대해 어떤 사전 추정치가 가능한가?
• RQ3 최소한의 정규성 조건 하에서 Itô-Krylov 유형의 변수변환 공식을 어떻게 도출하고 QBSDEs의 맥락에서 적용할 수 있는가?
• RQ4 L² 종단 데이터만을 가질 때, 제곱형 PDE에 대해 점근적 해의 존재성을 어느 정도까지 확립할 수 있는가?
• RQ5 측정 가능한 생성자를 가진 제곱형 BSDEs의 해에 대해 비교 정리는 어떤 조건에서 성립하는가?

주요 결과

• 종단 조건에 대한 기하급수적 모멘트가 필요 없이도, 연속적인 생성자와 L² 종단 데이터를 가진 QBSDEs의 해가 존재함을 입증하였다.
• 측정 가능한 생성자를 가진 QBSDEs에 대해 Krylov 유형의 사전 추정치를 도출하였으며, 이는 향후 분석에 기여한다.
• 최소한의 적분 조건 하에서 QBSDEs에 대해 Itô-Krylov 변수변환 공식을 증명하였다.
• L² 종단 데이터를 가진 일련의 제곱형 PDE에 대해 점근적 해의 존재성을 입증하였다.
• 측정 가능한 생성자와 L² 종단 조건을 가진 일부 QBSDEs에 대해 유일성 및 비교 정리를 확보하였다.
• 결과적으로, 생성자의 연속성 또는 종단 조건에 대한 기하급수적 모멘트가 해의 존재성이나 유일성에 필수적이지 않다는 것이 입증되었다.