[논문 리뷰] Lucas' theorem: its generalizations, extensions and applications (1878--2014)

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 06.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 43인용 수 9

한 줄 요약

이 종합적 서베이 논문(2014)은 이항계수를 소수 모듈로로 계산하는 기본 결과인 루카스 정리에 대해 130년이 넘는 연구를 종합한다. 이 논문은 루카스 정리를 소수의 거듭제곱 모듈로로 체계적으로 일반화하고, $p$-루카스 성질과 이중 루카스 성질을 도입하며, 피보나치계수 및 가우스 $q$-계수와 같은 일반화된 이항계수와의 연결 고리를 설정한다. 최종적으로 이는 $\mathbb{Q}(X)$ 위에서 정의된 대수적 멱급수에 대해 $p$-루카스 성질을 만족하는 유리함수 $(P(X))^{-1/s'}$ 형태로 특성화한다. 주요 기여는 다양한 조합적 수열에서 합동식, 대수성, $p$-진 구조 간의 통합적 프레임워크를 제공하는 데 있다.

ABSTRACT

In 1878 É. Lucas proved a remarkable result which provides a simple way to compute the binomial coefficient ${n\choose m}$ modulo a prime $p$ in terms of the binomial coefficients of the base-$p$ digits of $n$ and $m$: {\it If $p$ is a prime, $n=n_0+n_1p+\cdots +n_sp^s$ and $m=m_0+m_1p+\cdots +m_sp^s$ are the $p$-adic expansions of nonnegative integers $n$ and $m$, then \begin{equation*} {n\choose m}\equiv \prod_{i=0}^{s}{n_i\choose m_i}\pmod{p}. \end{equation*}} The above congruence, the so-called {\it Lucas' theorem} (or {\it Theorem of Lucas}), plays an important role in Number Theory and Combinatorics. In this article, consisting of six sections, we provide a historical survey of Lucas type congruences, generalizations of Lucas' theorem modulo prime powers, Lucas like theorems for some generalized binomial coefficients, and some their applications. In Section 1 we present the fundamental congruences modulo a prime including the famous Lucas' theorem. In Section 2 we mention several known proofs and some consequences of Lucas' theorem. In Section 3 we present a number of extensions and variations of Lucas' theorem modulo prime powers. In Section 4 we consider the notions of the Lucas property and the double Lucas property, where we also present numerous integer sequences satisfying one of these properties or a certain Lucas type congruence. In Section 5 we collect several known Lucas type congruences for some generalized binomial coefficients. In particular, this concerns the Fibonomial coefficients, the Lucas $u$-nomial coefficients, the Gaussian $q$-nomial coefficients and their generalizations. Finally, some applications of Lucas' theorem in Number Theory and Combinatorics are given in Section 6.

연구 동기 및 목표

• 1878년부터 2014년까지의 루카스 유형 합동식과 그 일반화에 대한 종합적인 역사적 및 기술적 서베이를 제공하는 것.
• 소수 거듭제곱 모듈로에서 루카스 정리 이론을 통합하고 체계화하는 것, 월스텐홀름 유형 합동식과 변형을 포함한다.
• 정수 및 유리수 수열에 대해 $p$-루카스 성질과 이중 루카스 성질을 정의하고 분석하는 것.
• 피보나치계수, 루카스 $u$-계수, 가우스 $q$-계수와 같은 일반화된 이항계수로 루카스 유형 정리를 확장하는 것.
• 무한히 많은 소수 $p$에 대해 $p$-루카스 성질을 만족하는 대수적 멱급수의 특성화를 수립하는 것.

제안 방법

• 정수 $n = \sum n_i p^i$ 및 $m = \sum m_i p^i$의 $p$-진 전개를 사용하여 루카스 정리의 핵심인 $\binom{n}{m} \equiv \prod \binom{n_i}{m_i} \pmod{p}$ 를 표현하는 것.
• 월스텐홀름 유형 합동식과 소수 거듭제곱 모듈로에서의 루카스 정리의 변형을 통해 정리를 $p^k$ 모듈로로 확장하는 것.
• 모든 $0 \leq j < p$ 에 대해 $a_{pn+j} \equiv a_n a_j \pmod{p}$ 를 만족하는 수열 $(a_n)$ 에 대해 $p$-루카스 성질을 정의하는 것.
• 수열의 $p$-진 전개를 이용한 $p$-루카스 성질 수열의 특성화: $a_n \equiv \prod a_{n_i} \pmod{p}$.
• 형식적 멱급수 $F(X) = \sum a_n X^n$ 에 $p$-루카스 성질을 적용하여 $\mathbb{Q}(X)$ 위에서의 대수성을 연구하는 것.
• 대수기하학과 $p$-진 해석을 사용하여, 형식적 멱급수가 $\mathbb{Q}(X)$ 위에서 대수적임은 물론 $F(X) = (P(X))^{-1/s'}$ 를 만족하는 유리함수 $P(X)$ 가 존재할 때에만 성립함을 증명하는 것. 여기서 $P(X)$ 는 차수 제한이 있는 다항식이며 $P(0) = 1$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루카스 정리는 어떻게 소수 거듭제곱 모듈로로 일반화될 수 있으며, 그러한 일반화의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ2 무한히 많은 소수 $p$ 에 대해 $p$-루카스 성질을 만족하는 수열을 특성화하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 피보나치계수, 가우스 $q$-계수 등 일반화된 이항계수 중 어떤 것이 루카스 유형 합동식을 만족하는가?
• RQ4 유리수 계수를 가진 형식적 멱급수가 $\mathbb{Q}(X)$ 위에서 대수적이며 $p$-루카스 성질과 호환되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 모든 충분히 큰 소수 $p$ 에 대해 대수적이며 $p$-루카스 성질을 만족하는 형식적 멱급수의 정확한 대수적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 중앙 이항계수는 $p$-루카스 성질을 만족한다: $n = \sum n_i p^i$ 이면 $\binom{2n}{n} \equiv \prod \binom{2n_i}{n_i} \pmod{p}$.
• 형식적 멱급수 $F(X) = \sum a_n X^n$ 이 $\mathbb{Q}(X)$ 위에서 대수적이며 모든 큰 소수 $p \equiv 1 \pmod{s}$ 에 대해 $p$-루카스 성질을 만족하는 것은, $F(X) = (P(X))^{-1/s'}$ 를 만족하는 유리함수 $P(X)$ 가 존재할 때에만 성립한다. 여기서 $P(X)$ 는 차수 최대 $s'$ 이며 $P(0) = 1$ 이다.
• 특히 $s = 2$ 인 경우, 형식적 멱급수가 대수적이며 모든 큰 소수 $p$ 에 대해 $p$-루카스 성질을 만족하는 것은 $F(X) = (P(X))^{-1/2}$ 를 만족하는 유리함수 $P(X)$ 가 존재할 때에만 성립한다. 여기서 $P(X)$ 는 차수 최대 2 이며 $P(0) = 1$ 이다.
• 수열 $(a_n)$ 에 대해 $p$-루카스 성질은 모든 $n$ 에 대해 $p$-진 전개 $n = \sum n_i p^i$ 를 만족할 때 $a_n \equiv \prod a_{n_i} \pmod{p}$ 와 동치이다.
• 중앙 이항계수 수열 $\binom{2n}{n}$ 은 $p$-루카스 성질을 만족하며, 이는 $\sum \binom{2n}{n}^t X^n$ 이 $t \geq 2$ 일 때 초월임을 보여주는 대수적 증명의 기초가 된다.
• $\mathbb{Z}_p$-값을 가진 가족 $A(\mathbf{n})$ 이 $p$-루카스 성질을 만족하는 것은, 모든 $\mathbf{n} \in \mathbb{N}^d$ 와 $\mathbf{v} \in \{0,\dots,p-1\}^d$ 에 대해 $A(\mathbf{v} + \mathbf{n}p) \equiv A(\mathbf{v})A(\mathbf{n}) \pmod{p\mathbb{Z}_p}$ 를 만족할 때에만 성립하며, 이 조건은 계승률 수열에 대해 효과적인 판별 기준을 제공한다.