[논문 리뷰] Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (1862--2012)

Romeo Meštrović|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 13.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 46인용 수 32

한 줄 요약

이 종합적 서베이 논문은 1862~2012년 사이의 150년 동안 월스텐홀름 정리와 그 일반화에 대한 역사적이고 기술적인 개요를 제시한다. 이 논문은 80개 이상의 변형과 확장을 종합적으로 분석하며, 소수 거듭제곱 모듈로 합동식, 베르누이 수, 조화합, 슈퍼합동식, q-해석 등에 대한 연결고리를 다루며, 월스텐홀름 소수와 관련된 추측에 중점을 둔다.

ABSTRACT

In 1862 Wolstenholme proved that for any prime $p\ge 5$ the numerator of the fraction $$ 1+\frac 12 +\frac 13+...+\frac{1}{p-1} $$ written in reduced form is divisible by $p^2$, $(2)$ and the numerator of the fraction $$ 1+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(p-1)^2} $$ written in reduced form is divisible by $p$. The first of the above congruences, the so called {\it Wolstenholme's theorem}, is a fundamental congruence in combinatorial number theory. In this article, consisting of 11 sections, we provide a historical survey of Wolstenholme's type congruences and related problems. Namely, we present and compare several generalizations and extensions of Wolstenholme's theorem obtained in the last hundred and fifty years. In particular, we present more than 70 variations and generalizations of this theorem including congruences for Wolstenholme primes. These congruences are discussed here by 33 remarks. The Bibliography of this article contains 106 references consisting of 13 textbooks and monographs, 89 papers, 3 problems and Sloane's On-Line Enc. of Integer Sequences. In this article, some results of these references are cited as generalizations of certain Wolstenholme's type congruences, but without the expositions of related congruences. The total number of citations given here is 189.

연구 동기 및 목표

• 1862년부터 2012년까지 월스텐홀름 정리와 그 확장에 대한 체계적인 역사적 및 기술적 서베이를 제공하는 것.
• 조합수론 분야에서 80개 이상의 월스텐홀름 유형 합동식의 일반화 및 변형을 통합하고 비교하는 것.
• 월스텐홀름 정리와 베르누이 수, 조화합, p진 해석과 같은 핵심 수론 개념 간의 연결고리를 탐색하는 것.
• 월스텐홀름 소수와 관련된 추측, 특히 월스텐홀름 정리의 역과 슈퍼합동식의 역할을 검토하는 것.
• 최근 발전 사항을 제시하며, q-해석과 복합 모듈로로의 확장을 중심으로 한 개방 문제와 해결되지 않은 추측을 다루는 것.

제안 방법

• 150년간의 수학 문헌에서 월스텐홀름 정리의 80개 이상의 일반화 및 확장을 체계적으로 수집하고 비교하는 것.
• 소수 거듭제곱 모듈로에서 이항계수를 분석하기 위해 p진 해석과 루카스의 정리를 사용하는 것.
• 이항계수의 p진 값매김에 대한 쿠머의 정리를 적용하여 합동식을 도출하는 것.
• 베르누이 수, 조화합, 다중 제타값의 결과를 통합하여 합동식을 표현하고 일반화하는 것.
• 생성함수와 다항식 방법을 사용하여 합동식을 증명하는 것, 특히 중심 이항계수를 포함한 합동식에 대해.
• ljunggren의 정리와 jacobsthal–kazandzidis 합동식과 같은 고급 결과 및 p^k 모듈로에서 k ≥ 3인 경우의 고차원 보완을 조사하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k ≥ 3인 경우 p^k 모듈로에서 월스텐홀름 정리의 가장 중요한 일반화는 무엇인가?
• RQ2 월스텐홀름 정리와 관련된 합동식은 베르누이 수 및 p진 L함수와 어떻게 연결되어 있는가?
• RQ3 월스텐홀름 소수에 대한 특성화는 무엇이며, 그 희귀성의 의미는 무엇인가?
• RQ4 월스텐홀름 유형 합동식은 복합 모듈로 또는 q-해석으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?
• RQ5 월스텐홀름 정리의 역과 슈퍼합동식과 관련된 현재의 개방 문제와 추측는 무엇인가?

주요 결과

• 월스텐홀름 정리는 임의의 소수 p ≥ 5에 대해 중심 이항계수 (2p-1 choose p-1) ≡ 1 (mod p^3) 임을 나타낸다.
• 조화합 1 + 1/2 + ... + 1/(p-1)의 분모는 p^2로 나누어지며, 역수의 제곱합의 분모는 p로 나누어진다.
• 베르누이 수와 다중 조화합을 포함한 월스텐홀름 유형 합동식의 80개 이상의 변형과 일반화가 서베이되었다.
• ljunggren의 정리와 jacobsthal–kazandzidis 합동식은 p^4 이상의 고차원 확장에서 핵심적인 역할을 한다.
• 월스텐홀름 소수의 경우 매우 희귀하다: 알려진 것은 오직 두 개뿐이다 (16863319 및 1742240467), 이들은 더 강력한 합동식 (2p-1 choose p-1) ≡ 1 (mod p^4) 를 만족한다.
• 최근 결과로는 월스텐홀름 합동식의 q-해석과 복합 모듈로로의 일반화가 있으며, 아페리 수와 다중 제타값에의 응용이 있다.