[논문 리뷰] $M$-fractional derivative with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 14.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 3인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 매개수 $M$를 가진 미타그레플레르 함수를 포함시켜 카투감폴라의 대체 분수도수 도함수를 일반화한 $M$-분수도수 도함수 $\mathscr{D}_{M}^{α,β}$를 제안한다. 이 도함수는 선형성, 곱의 법칙, 연쇄법칙과 같은 고전적 미적분학 성질을 만족하며, $\alpha = 1$ 이고 $M = 1$ 일 때 일반 도함수로 복원된다. 주요 기여는 이 분수도수 프레임워크로 롤의 정리와 평균값 정리를 확장한 것이다.

ABSTRACT

We introduce a new fractional derivative that generalizes the so-called alternative fractional derivative recently proposed by Katugampola. We denote this new differential operator by $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order, is such that $0 0$ and $M$ is used to denote that the function to be derived involves a Mittag-Leffler function with one parameter. This new derivative satisfies some properties of integer-order calculus, e.g. linearity, product rule, quotient rule, function composition and the chain rule. Besides as in the case of the Caputo derivative, the derivative of a constant is zero. Because Mittag-Leffler function is a natural generalization of the exponential function, we can extend some of the classical results of integer-order calculus, namely: Rolle's theorem, the mean value theorem and its extension. Further, when the order of the derivative is $\alpha=1$ and the parameter of the Mittag-Leffler function is also unitary, our definition is equivalent to the definition of the ordinary derivative of order one. Finally, we present the corresponding fractional integral from which, as a natural consequence, new results emerge which can be interpreted as applications. Specifically, we generalize the inversion property of the fundamental theorem of calculus and prove a theorem associated with the classical integration by parts.

연구 동기 및 목표

• 카투감폴라의 대체 분수도수 도함수를 매개수 $M$를 가진 미타그레플레르 함수를 포함시켜 새로운 연산자로 일반화하는 것.
• 정수차수 미적분학의 기본 성질인 선형성, 곱의 법칙, 연쇄법칙 등을 유지하는 분수도수 도함수를 수립하는 것.
• 새로운 도함수를 사용하여 고전적 정리인 롤의 정리와 평균값 정리를 분수차수로 확장하는 것.
• $\alpha = 1$ 이고 $M = 1$ 일 때 도함수가 일반 도함수로 복원되는지 확인하여 표준 미적분학과의 일관성을 확보하는 것.
• 해당 분수도수 적분을 유도하고 기본 정리와 부분적분 공식의 일반화된 형태를 증명하는 것.

제안 방법

• 매개수 $M$을 가진 미타그레플레르 함수를 사용하여 $M$-분수도수 도함수 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$를 정의한다.
• 선형성, 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙의 유사 형태를 증명하여 도함수의 성질을 확립한다.
• 상수의 도함수가 0임을 보여주어 캡투 도함수와 일치시킨다.
• 미타그레플레르 함수가 지수함수의 일반화임을 활용하여 롤의 정리 및 평균값 정리와 같은 고전적 정리를 분수차수로 확장한다.
• 해당 분수도수 적분을 유도하고 그 역성질을 증명하여 기본 정리의 일반화를 이룬다.
• 새로운 도함수와 적분 프레임워크를 기반으로 일반화된 부분적분 공식을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캡투와 카투감폴라 도함수를 모두 일반화하면서도 고전적 미적분학 성질을 유지하는 새로운 분수도수 도함수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 $M$-분수도수 도함수가 고전적 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙을 만족하는가?
• RQ3 이 새로운 도함수를 사용하여 롤의 정리와 평균값 정리를 분수차수로 확장할 수 있는가?
• RQ4 $\alpha = 1$ 이고 $M = 1$ 일 때 $M$-분수도수 도함수의 행동은 어떠한가—일반 도함수로 복원되는가?
• RQ5 이 새로운 분수도수 미적분 프레임워크 내에서 기본 정리와 부분적분 공식을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• $M$-분수도수 도함수 $\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$는 선형성 성질을 만족하여 스칼라 곱과 덧셈이 유지됨을 보장한다.
• 도함수는 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙을 따르며, 고전적 미적분학과 유사하다.
• 상수의 도함수가 0임을 확인하여 캡투 도함수와 고전적 기대와 일치한다.
• $\alpha = 1$ 이고 $M = 1$ 일 때 $M$-분수도수 도함수의 형태는 정확히 일阶 도함수로 복원된다.
• 일반화된 롤의 정리와 평균값 정리는 새로운 도함수 하에서 성립하여 고전 결과를 분수차수로 확장한다.
• 해당 분수도수 적분이 도출되었고, 그 역성질은 기본 정리의 일반화를 이루며, 일반화된 부분적분 공식도 증명되었다.