[논문 리뷰] Magic state distillation with punctured polar codes

Anirudh Krishna, Jean–Pierre Tillich|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 44인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자 계산에서 고장내성 T-게이트를 구현하기 위해 펄스처드 포아르 코드를 사용하는 마법 상태 증식 기법을 제안한다. 포아르 코드의 대수적 구조를 감소 단항식 코드로 간주함으로써, 저비용의 순차적 취소 복호화가 가능한 삼중직교 양자 코드를 구성하였으며, 복호화 복잡도는 O(N log N) 수준이 되며, 이는 이진 소실 채널에서 오류율이 8×10⁻²⁸ 수준, 분광 채널에서 7×10⁻¹⁵ 수준으로 매우 낮아진다. 블록 크기가 클수록 성능 향상이 뚜렷하다.

ABSTRACT

We present a scheme for magic state distillation using punctured polar codes. Our results build on some recent work by Bardet et al. (ISIT, 2016) who discovered that polar codes can be described algebraically as decreasing monomial codes. Using this powerful framework, we construct tri-orthogonal quantum codes (Bravyi et al., PRA, 2012) that can be used to distill magic states for the $T$ gate. An advantage of these codes is that they permit the use of the successive cancellation decoder whose time complexity scales as $O(N\log(N))$. We supplement this with numerical simulations for the erasure channel and dephasing channel. We obtain estimates for the dimensions and error rates for the resulting codes for block sizes up to $2^{20}$ for the erasure channel and $2^{16}$ for the dephasing channel. The dimension of the triply-even codes we obtain is shown to scale like $O(N^{0.8})$ for the binary erasure channel at noise rate $0.01$ and $O(N^{0.84})$ for the dephasing channel at noise rate $0.001$. The corresponding bit error rates drop to roughly $8 imes10^{-28}$ for the erasure channel and $7 imes 10^{-15}$ for the dephasing channel respectively.

연구 동기 및 목표

• 고장내성 양자 계산에서 주요 병목 현상인 마법 상태 증식의 오버헤드를 줄이기 위해.
• 확장 가능하고 저복잡도인 양자 오류 수정 코드를 개발하여 고정밀도 T-게이트 마법 상태를 증식하기 위해.
• 최근의 고전적 부호 이론에서의 진전—특히 포아르 부호의 대수적 기술—을 활용하여 삼중직교 양자 부호를 설계하기 위해.
• 브라비-하우 프로토콜에서 후행 선택(post-selection)을 스테인 에러 수정으로 대체하여 더 높은 증식 속도와 더 나은 자원 효율성을 달성하기 위해.
• 실제 노이즈 모델 하에서 코드 차원과 오류 수정 능력 측면에서 펄스처드 포아르 부호의 성능을 분석하기 위해.

제안 방법

• 감소 단항식 부호 프레임워크에서 유도된 포아르 부호를 펄스처드하여 삼중직교 양자 부호를 구성한다.
• 블록 크기 N에 대해 O(N log N)의 복호화 복잡도를 제공하는 순차적 취소(Sequential Cancellation, SC) 복호기를 포아르 부호에 적용한다.
• 브라비-하우 증식 프로토콜에서 후행 선택을 스테인 에러 수정으로 대체하여 결정론적 증식과 오류 수정을 가능하게 한다.
• 비트 오류율의 상한을 구하기 위해 바타차리아 파라미터를 사용한다.
• 이진 소실 채널과 분광 채널에 대해 수치 시뮬레이션을 수행하여 코드 차원과 오류율을 추정한다.
• 포아르 부호의 대수적 구조를 활용하여 유도된 부호가 삼중직교임을 증명하고, T-게이트 증식에 적합함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 펄스처드 포아르 부호를 사용하여 마법 상태 증식에 적합한 삼중직교 부호를 구성할 수 있는가?
• RQ2 다양한 노이즈 모델 하에서 블록 크기가 증가할 때 펄스처드 포아르 부호의 논리적 코드 차원은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 브라비-하우 프로토콜에서 후행 선택 대비 순차적 취소 복호기의 오류 수정 성능은 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이 양자 증식 기법에서 비트 오류율을 신뢰성 있게 상한으로 제시하는 데 바타차리아 파라미터를 사용할 수 있는가?
• RQ5 펄스처드 포아르 부호의 오류율과 코드 차원은 마법 상태 증식에서 리드-멀러 부호와 비교해 볼 때 어떻게 다른가?

주요 결과

• 이진 소실 채널에서 노이즈 비율 0.01일 때, 펄스처드 포아르 부호로부터 유도된 삼중짝수 부호의 차원은 O(N⁰.⁸) 비율로 증가한다.
• 분광 채널에서 노이즈 비율 0.001일 때, 코드 차원은 O(N⁰.⁸⁴) 비율로 증가한다.
• 이진 소실 채널에서 블록 크기가 2²⁰(1,048,576)일 때 비트 오류율이 약 8×10⁻²⁸ 수준으로 감소한다.
• 분광 채널에서 블록 크기가 2¹⁶(65,536)일 때 비트 오류율은 약 7×10⁻¹⁵ 수준에 도달한다.
• 순차적 취소 복호기는 O(N log N)의 복잡도를 제공하여 유사한 부호에 대해 기존 복호기 대비 효율성이 크게 향상된다.
• 후행 선택 대신 스테인 에러 수정을 사용함으로써 증식 속도가 향상되고 자원 활용도가 더 높아진다.