[논문 리뷰] Mahonian STAT on rearrangement class of words

Shishuo Fu, Ting Hua외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 26.

semigroups and automata theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 단어의 재배열 클래스 위에 명시적인 치환을 구성하여, 6개 통계 (des, Id, F, MAJ, STAT)과 (des, Id, F, STAT, MAJ)의 공동 등분포를 증명함으로써, 이 치환 하에서 MAJ와 STAT 이 서로 바뀌어도 등분포가 유지됨을 보여준다. 이 방법은 Burstein의 치환, Foata-Sch"utzenberger의 치환, 그리고 RSK 알고리즘을 결합하여 주요 통계를 유지하면서 MAJ와 STAT 을 바꾸며, 이는 이전의 등분포 결과를 순열에서 단어의 재배열 클래스로 확장한다.

ABSTRACT

In 2000, Babson and Steingrímsson generalized the notion of permutation patterns to the so-called vincular patterns, and they showed that many Mahonian statistics can be expressed as sums of vincular pattern occurrence statistics. STAT is one of such Mahonian statistics discoverd by them. In 2016, Kitaev and the third author introduced a words analogue of STAT and proved a joint equidistribution result involving two sextuple statistics on the whole set of words with fixed length and alphabet. Moreover, their computer experiments hinted at a finer involution on $R(w)$, the rearrangement class of a given word $w$. We construct such an involution in this paper, which yields a comparable joint equidistribution between two sextuple statistics over $R(w)$. Our involution builds on Burstein's involution and Foata-Schützenberger's involution that utilizes the celebrated RSK algorithm.

연구 동기 및 목표

• 순열에서의 마호니안 통계(MAJ, STAT)의 공동 등분포를 순열이 아닌 단어의 재배열 클래스로 확장하기.
• Kitaev와 Vajnovszki(2016)의 추측을 해결하기 위해 단어 w의 재배열 클래스 R(w) 위에 명시적인 치환을 구성하기.
• MAJ와 STAT 을 바꾸는 동안 des, Id, 그리고 기타 주요 통계를 유지하기.
• 재배열 클래스에서 Adj 가 잘 정의되지 않기 때문에, Adj 를 Id 로 대체하는 더 정교한 등분포 결과를 제공하기.
• 이전의 순열과 단어에 대한 등분포 정리들을 RSK 기반 치환을 사용하여 재배열 클래스의 맥락으로 일반화하기.

제안 방법

• 순열 위에 des, Id, F 를 유지하고 MAJ 와 STAT 을 바꾸는 치환 φ 를 구성한다.
• RSK 알고리즘을 사용하여 수열 위의 사상 j 를 정의하며, 이를 순열의 상단과 하단 부분에 적용하여 φ 의 이미지를 정의한다.
• 단어와 순열 간의 번역을 가능하게 하기 위해 코드화 사상 c 를 적용하여, 치환이 재배열 클래스 R(w) 위로 올라가도록 한다.
• 역 RSK 알고리즘을 사용하여 표준 양자 표기법 쌍으로부터 순열을 재구성함으로써, 전단사성과 가역성을 보장한다.
• φ 가 치환임(φ² = 1)이라는 사실에 기반하여, 바뀐 통계의 등분포를 보장한다.
• 치환이 고정점의 수 F 와 역내림차수 집합 Id 를 유지함을 검증하며, 이는 등분포 결과에 있어 핵심적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단어 w 의 재배열 클래스 R(w) 위에서 (des, Id, F, MAJ, STAT)와 (des, Id, F, STAT, MAJ)의 공동 등분포가 순열과 전체 단어 집합에서 알려진 결과와 유사하게 확립될 수 있는가?
• RQ2 MAJ 와 STAT 을 바꾸면서 des, Id, F 를 유지하는 R(w) 위에 명시적인 치환이 존재하는가?
• RQ3 재배열 클래스의 맥락에서 RSK 알고리즘이 그러한 치환을 구성하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 알파벳의 k-확장(작은 문자와 큰 문자로 분할)의 경우, 통계가 재정의될 때 등분포 결과가 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 이 등분포 결과는 재배열 클래스에서의 오일러-마호니안 통계 분류에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 대칭군 S_n 위에 des, Id, F 를 유지하고, MAJ(φ(π)) = STAT(π) 및 STAT(φ(π)) = MAJ(π) 를 만족하는 명시적인 치환 φ 를 구성하며, (des, Id, F, MAJ, STAT)와 (des, Id, F, STAT, MAJ)의 공동 등분포를 증명한다.
• 치환 φ 는 코드화 사상 c 를 통해 재배열 클래스 R(w) 위로 올라가며, 이를 통해 R(w) 위에 des, Id, F 를 유지하면서 MAJ 와 STAT 을 바꾸는 치환 φ_{R(w)} 를 얻는다.
• 핵심 결과는 정리 1.5이며, 이는 임의의 단어 w 에 대해 R(w) 위에서 (des, Id, F, MAJ, STAT)와 (des, Id, F, STAT, MAJ)가 동일한 공동 분포를 가짐을 보여준다.
• 치환은 역내림차수 집합 Id 를 유지하며, 이는 des 와 ides 를 유일하게 결정하므로, 정리 1.6에 의해 IMAJ 가 Adj 를 대체하는 공동 등분포가 성립한다.
• 예시로 v = 4 3 4 4 2 1 6 5 1 이 R(w) 에 속하며 (des, Id, F, MAJ, STAT) = (5, {2,3,4,8}, 4, 25, 21) 이고, φ_{R(w)}(v) = 4 1 6 4 3 2 4 5 1 이며, 이는 (des, Id, F, STAT, MAJ) = (5, {2,3,4,8}, 4, 25, 21) 을 제공함으로써 교환의 정확성을 확인한다.
• 결과는 (des, STAT) 가 재배열 클래스 위에서 새로운 오일러-마호니안 쌍을 이룬다는 것을 확인하며, 이러한 통계의 기존 가족을 확장한다.