[논문 리뷰] Main conjectures for higher rank nearly ordinary families -- I

Kâzım Büyükboduk, Tadashi Ochiai|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차원을 가진 변형 환 위에서 고차수 갈로아 표현에 대한 아이와사와 이론의 기초 프레임워크를 수립하며, 일반화된 콜레먼 사상과 국소적으로 제한된 오일러 시스템에 대한 차원 감소 기법을 도입한다. 비에린쉬온–플라시 오일러 시스템을 통해 랭킨-셀버그 $p$-진 $L$-함수에 대한 3변수 메인 추측 나누어짐을 증명하며, $p$-진 체 위의 멱급수환을 계수로 가지는 거의 정상적인 가족으로 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this article, we present the first half of our project on the Iwasawa theory of higher rank Galois deformations over deformations rings of arbitrary dimension. We develop a theory of Coleman maps for a very general class of coefficient rings, devise a dimension reduction procedure for locally restricted Euler systems and finally, put these into use in order to prove a divisibility in a 3-variable main conjecture for nearly ordinary families of Rankin-Selberg convolutions.

연구 동기 및 목표

• 임의의 크룰 차원을 가진 환 위에서 고차수 갈로아 변형 이론에 대한 아이와사와 메인 추측의 일반적 기반을 마련하는 것.
• 다변수 멱급수환의 유한 확대를 계수로 가지는 거의 정상적인 갈로아 변형에 대한 콜레먼 사상을 구축하는 것.
• 두 히다 가족의 랭킨-셀버그 콘볼루션의 원환형 변형에 대해 3변수 메인 추측의 나누어짐을 증명하는 것.
• 신규 콜레먼 사상 프레임워크와 비에린쉬온–플라시 오일러 시스템을 사용하여 히다의 $p$-진 $L$-함수를 새롭게 구성하는 것.

제안 방법

• 모든 변수 수에 대해 $p$-진 체 위의 멱급수환을 포함하는 일반적인 계수 환 클래스에 대한 콜레먼 사상 이론을 개발한다.
• 고차원 변형 환 위에서 세일머 그룹을 제어하기 위해 국소적으로 제한된 오일러 시스템에 대한 차원 감소 절차를 도입한다.
• 비에린쉬온–플라시 3변수 클래스 [KLZ17]에 콜레먼 사상 구축을 적용하여 $p$-진 $L$-함수와 연결한다.
• 수득한 오일러 시스템을 사용하여 랭킨-셀버그 $p$-진 $L$-함수에 대한 3변수 메인 추측에서의 나누어짐을 증명한다.
• 히다의 $p$-진 $L$-함수의 보간 성질과 비영성 증명을 통해 핵심 코homology 클래스의 비자명성을 확보한다.
• 일반화된 몫과 디외도네 모듈 간의 동형을 활용하여 코homological 클래스를 $p$-진 $L$-값과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 임의의 크룰 차원을 가진 계수 환, 특히 다변수 멱급수환에 대해 콜레먼 사상을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 국소적으로 제한된 오일러 시스템에 대해 고차원 변형 환 위에서 세일머 그룹을 제어하기 위한 차원 감소 기법을 개발할 수 있는가?
• RQ3 비에린쉬온–플라시 오일러 시스템이 고차수 아이와사와 메인 추측에서의 나누어짐 진술을 얼마나 넓게 활용할 수 있는가?
• RQ4 히다의 랭킨-셀버그 콘볼루션에 대한 $p$-진 $L$-함수는 콜레먼 사상과 오일러 시스템을 사용하여 새로운 방식으로 복원 가능할까?
• RQ5 비에린쉬온–플라시 클래스의 국소 코hom올로지에서의 상이 비영성이 보장되는 조건은 무엇이며, 이는 $p$-진 $L$-함수의 비영성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 콜레먼 사상으로 구성된 $p$-진 $L$-함수 $L_p^{\textup{BF}}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ 는 히다의 $p$-진 $L$-함수 $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ 와 일치하며, 3변수 설정에서 이들의 일致함을 입증한다.
• 국소 코hom올로지에서 비에린쉬온–플라시 클래스 $\mathrm{res}_p(\mathbf{BF}^{\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2}_1)$ 의 상은 비자명하다. 이는 특정 특수화에서 $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ 의 비영성에 의해 보여진다.
• 3변수 메인 추측에서 나누어짐 관계가 성립한다: $\textup{char}_{\mathbb{I}\widehat{\otimes}\mathbb{I}\widehat{\otimes}\Lambda_{\textup{cyc}}}(H^1_{\mathcal{F}_{\textup{Gr}}^{*}}(\mathbb{Q},\mathbb{T}_{\textup{cyc}}^\vee(1))^\vee \otimes \cdots) \supset (H \cdot L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j}))$.
• $L_p^\textup{Hida}(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{j})$ 의 비영성은 $w_1 > w_2 + 2$ 에서의 특수화가 비영임을 보여 이를 통해 아르히메데스 기반의 히케 고유값에 기반한다.
• 등장사상 $H^1_{+\!/^\textup{f}}(\mathbb{Q}_p,\mathbb{T}_{\textup{cyc}}) \cong \mathbb{D}(F^{-+}\mathbb{T}_{\textup{cyc}})$ 을 통해 디외도네 이론을 활용하여 코homological 클래스를 $p$-진 $L$-값과 연결할 수 있다.
• 콜레먼 사상의 구축은 히다의 $p$-진 $L$-함수를 새로운 방식으로 유도할 수 있게 하며, [KLZ17, Theorem B]의 접근과 일치하지만, 이제는 고차수 및 다변수 설정에서 성립한다.