[논문 리뷰] $p$-adic heights of Heegner points and Beilinson-Flach elements

Francesc Castella|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 38인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $Π$ 위의 비유한 Shimura 곡선에서 히그너 점에 대한 $λ$-adic 그로스–자지에르 공식에 대한 새로운 아이와사와 이론적 증명을 제시한다. 이는 히류의 결과를 비분할 히 quaternion 대수의 경우로 확장한 것이다. 핵심 기여는 베일린슨–플라치 요소와 명시적 상호작용 법칙을 사용하여, 두 변수 $p$-adic $L$-함수의 순환 도함수와 순환 $p$-adic 높이 사이의 관계를 연결하는 $λ$-adic 그로스–자지에르 공식을 수립한 것이다.

ABSTRACT

We give a new proof of Howard's $Λ$-adic Gross-Zagier formula, which we extend to the context of indefinite Shimura curves over $\mathbf{Q}$ attached to nonsplit quaternion algebras. This formula relates the cyclotomic derivative of a two-variable $p$-adic $L$-function restricted to the anticyclotomic line to the cyclotomic $p$-adic heights of Heegner points over the anticyclotomic tower, and our proof, rather than inspired by the original approaches of Gross-Zagier and Perrin-Riou, is via Iwasawa theory, based on the connection between Heegner points, Beilinson-Flach elements, and their explicit reciprocity laws.

연구 동기 및 목표

• 대상 $Π$ 위의 비유한 Shimura 곡선에서 히그너 점에 대한 $λ$-adic 그로스–자지에르 공식에 대한 새로운 아이와사와 이론적 증명을 제공하는 것.
• 히류의 $λ$-adic 그로스–자지에르 공식을 비분할 히 quaternion 대수와 비유한 Shimura 곡선의 맥락으로 확장하는 것.
• 두 변수 $p$-adic $L$-함수의 순환 도함수와 반순환 타워에서 히그너 점의 $p$-adic 높이 사이의 정확한 연결 고리를 설정하는 것.
• 베일린슨–플라치 요소와 명시적 상호작용 법칙에 기반한 방법이 일반적인 순환, 랭크 1 설정 외에도 일반화 가능함을 보여주는 것.

제안 방법

• 랭킨–셀버그 $L$-함수의 중심값을 보간하는 $p$-adic $L$-함수 $L_p(f/K)$에 대한 아이와사와 이론을 활용한다.
• 명시적 상호작용 법칙을 적용하여, 베일린슨–플라치 클래스를 세일머 그룹 $\mathrm{Sel}(K,\mathbf{T}^{\mathrm{ac}})$ 내의 히그너 점과 연결한다.
• 히그너 점의 $p$-adic 높이를 측정하기 위해 순환 $\Lambda^{\mathrm{ac}}$-adic 높이 쌍선 $\langle \cdot, \cdot \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}}$ 를 사용한다.
• $\Lambda^{\mathrm{ac}} \otimes_{\mathbf{Z}_p} \mathbf{Q}_p$ 내에서 이상으로서 $(L_{p,1}^{\mathrm{cyc}}(f/K)) = (\langle \mathbf{z}_f, \mathbf{z}_f \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}})$ 의 등식을 확립한다.
• $p$-adic $L$-함수의 $\mu$-인variant 의 영성과 제어 정리에 기반하여 특성 이상의 정수성과 등식을 유도한다.
• 베일린슨–플라치 요소 이론과 그 히그너 점으로의 특성화를 사용하여 $p$-adic $L$-함수와 산술 불변량 사이의 연결 고리를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 아이와사와 이론과 베일린슨–플라치 요소를 활용하여 $λ$-adic 그로스–자지에르 공식을 재증명할 수 있는가?
• RQ2 두 변수 $p$-adic $L$-함수의 순환 도함수와 반순환 타워에서 히그너 점의 $p$-adic 높이 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 이 논문의 방법은 고차수 모듈라 형식이나 초순환 $p$-adic $L$-함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 $p$-adic $L$-함수의 $\mu$-인variant 이 어떤 조건에서 영이 되며, 이는 특성 이상의 정수성을 보장하는가?
• RQ5 베일린슨–플라치 클래스에 대한 명시적 상호작용 법칙은 Shimura 곡선에서 히그너 점의 산술과 어떻게 연결되는가?

주요 결과

• 논문은 $\Lambda^{\mathrm{ac}} \otimes_{\mathbf{Z}_p} \mathbf{Q}_p$ 내 이상으로서 $(L_{p,1}^{\mathrm{cyc}}(f/K)) = (\langle \mathbf{z}_f, \mathbf{z}_f \rangle_{K^{\mathrm{ac}}_{\infty}}^{\mathrm{cyc}})$ 의 등식을 확립하여, $λ$-adic 그로스–자지에르 공식을 증명한다.
• 증명은 아이와사와 이론과 베일린슨–플라치 요소에 대한 명시적 상호작용 법칙에 기반하며, 원래의 그로스–자지에르 및 페리에-루 방법과는 독립적인 새로운 접근법을 제공한다.
• 절대 기약성과 $N^{-}$ 를 나누는 소수들에서 $E[p]$ 의 분할 조건을 만족할 경우, $p$-adic $L$-함수 $\mathscr{L}^{\tt BDP}_{\mathfrak{p}}(f/K)$ 의 $\mu$-인variant 이 영이 된다.
• 세일머 그룹 $X_{\emptyset,0}(K,\mathbf{A}^{\mathrm{ac}})$ 의 특성 이상이 $p$-adic $L$-함수 이상의 제곱과 $p$ 의 거듭제곱을 제외하고 동일하다고 밝혀졌다.
• 이 방법은 이후 연구들에 의해 고차수 및 초순환 경우로의 일반화 가능성이 확인되었으며, 일반화에 적합함을 보였다.
• 표준 가정 하에 $Ch_{\Lambda_{R_0}}(X_{\emptyset,0}(K,\mathbf{A})_{R_0}) \subseteq (\mathscr{L}_{\mathfrak{p}}(f/K))$ 의 포함관계가 성립하며, $\mu$-인variant 의 영성에 의해 정수성이 확보된다.