[논문 리뷰] Marked colimits and higher cofinality

Fernando Abellán García|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라식성의 정도를 제어하는 표시된 ∞-범주 구조를 통해 가중치 및 라식 코일리미트를 일반화하는 ∞-이분범주에서 표시된 코일리미트를 도입한다. 표시된 코일리미트에 대해 2차원 유일성 성질을 확립하고, 표시된 ∞-범주 간의 함자에 대한 공초점성 기준을 제시하여, 공초점성 함자가 코일리미트를 보존함을 보여주며, 이는 코일리미트를 공초점성 분해를 통해 수행한다.

ABSTRACT

Given a marked $\infty$-category $\mathcal{D}^{\dagger}$ (i.e. an $\infty$-category equipped with a specified collection of morphisms) and a functor $F: \mathcal{D} o \mathbb{B}$ with values in an $\infty$-bicategory, we define $\operatorname{colim}^{\dagger} F$, the marked colimit of $F$. We provide a definition of weighted colimits in $\infty$-bicategories when the indexing diagram is an $\infty$-category and show that they can be computed in terms of marked colimits. In the maximally marked case $\mathcal{D}^{\sharp}$, our construction retrieves the $\infty$-categorical colimit of $F$ in the underlying $\infty$-category $\mathcal{B} \subseteq \mathbb{B}$. In the specific case when $\mathbb{B}=\mathfrak{Cat}_{\infty}$, the $\infty$-bicategory of $\infty$-categories and $\mathcal{D}^{\flat}$ is minimally marked, we recover the definition of lax colimit of Gepner-Haugseng-Nikolaus. We show that a suitable $\infty$-localization of the associated coCartesian fibration $\operatorname{Un}_{\mathcal{D}}(F)$ computes $\operatorname{colim}^{\dagger} F$. Our main theorem is a characterization of those functors of marked $\infty$-categories $f:\mathcal{C}^{\dagger} o \mathcal{D}^{\dagger}$ which are marked cofinal. More precisely, we provide sufficient and necessary criteria for the restriction of diagrams along $f$ to preserve marked colimits.

연구 동기 및 목표

• 표시된 ∞-범주를 사용하여 ∞-이분범주에서의 가중치 코일리미트에 대한 일반 이론을 개발한다.
• 표시된 코일리미트를 정의하여 ∞-카테고리 코일리미트와 라식 코일리미트를 모두 복원하는 통합 프레임워크로 삼는다.
• 표시된 코일리미트를 보존하는 표시된 공초점성 함자에 대한 특성화를 제공한다.
• 표시된 코일리미트의 구성과 그로텐디크 구성 및 코일리미트 분해를 국소화를 통해 연결한다.
• 표시된 코일리미트에 대해 2차원 유일성 성질을 확립하여 고차원 범주론적 유일성 구성과 일치시킨다.

제안 방법

• 색인 ∞-범주에서의 특정 표시된 사상 집합을 사용하여 ∞-이분범주에서의 표시된 코일리미트를 유일성 구성으로 정의한다.
• 색인 다이어그램이 ∞-범주일 경우, ∞-이분범주에서의 가중치 코일리미트가 표시된 코일리미트로 계산될 수 있음을 보인다.
• 함자 F와 관련된 코일리미트 분해를 국소화하여 표시된 코일리미트를 구성한다.
• 2차원 유일성 성질을 사용하여 표시된 코일리미트를 특성화하여, 고차원 사상과의 일致성과 유일성을 보장한다.
• 함자 간의 제약 조건을 분석하여, 표시된 ∞-범주 간의 함자에 대한 공초점성 기준을 수립한다.
• 구성과 그로텐디크 구성 간의 관계를 규명하여, 기존의 라식 코일리미트 및 ∞-코일리미트에 대한 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ∞-이분범주에서의 가중치 코일리미트는 어떻게 체계적으로 정의되고 계산될 수 있는가?
• RQ2 표시된 코일리미트는 ∞-카테고리 코일리미트와 라식 코일리미트를 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 표시된 ∞-범주 간의 함자가 표시된 코일리미트를 보존하기 위해 어떤 조건을 충족해야 하는가?
• RQ4 함자와 관련된 코일리미트 분해를 국소화하면 어떻게 표시된 코일리미트가 계산되는가?
• RQ5 표시된 코일리미트가 만족하는 정확한 2차원 유일성 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 표시가 최대일 때(즉, 모든 사상이 표시될 때), 표시된 코일리미트는 표준 ∞-카테고리 코일리미트로 복원된다.
• ∞-이분범주인 ∞-카테고리의 범주에서 최소 표시를 사용할 경우, 표시된 코일리미트는 제퍼너-하우젠그-니콜라우스가 정의한 라식 코일리미트로 복원된다.
• 함자 F의 표시된 코일리미트는 Un_D(F)로 표시되는 관련된 코일리미트 분해를 표시된 사상에서 국소화함으로써 계산된다.
• 함자 f: C^† → D^†가 표시된 공초점성일 필요충분조건은 표시된 코일리미트를 보존하는 것이다.
• 구성은 2차원 유일성 성질을 만족하여 고차원 범주론적 유일성 대수에 적합하다.
• 이 이론은 표시된 ∞-범주 프레임워크를 통해 기존의 라식 코일리미트 및 ∞-코일리미트 결과를 통합하고 일반화한다.