[논문 리뷰] MARTINGALE SOLUTIONS FOR STOCHASTIC EQUATION OF REACTION DIFFUSION TYPE DRIVEN BY L ´ EVY NOISE OR POISSON RANDOM MEASURE

Erika Hausenblas|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 48인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 레비 소음 또는 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 확률 반응-확산 방정식에 대한 마팅게일 해의 존재성을 증명하며, 계수가 유계이고 연속인 SPDE에 대해 해를 먼저 구성한 후 일반 레비 경우로 확장하는 새로운 접근법을 사용한다. 주요 기여는 진정한 레비 과정에 의해 구동되는 마팅게일 해에 대한 오랫동안 열려 있던 문제를 긍정적으로 해결한 것이다.

ABSTRACT

In this paper we are interested in a reaction diusion equa- tion driven by Poissonian noise respective Levy noise. For this aim we �rst show existence of a martingale solution for an SPDE of parabolic type driven by a Poisson random measure with only continuous and bounded coecients. This result is transferred to an parabo lic SPDE driven by Levy noise. In a second step, we show existence of a martin- gale solution of reaction diusion type, also driven by Poissonian noise respective Levy noise. Our results answer positively a long standing open question about existence of martingale solutions driven by genuine Levy processes.

연구 동기 및 목표

• 진정한 레비 과정에 의해 구동되는 반응-확산 SPDE에 대한 마팅게일 해의 존재성을 증명하는 오랜 동안의 열린 문제를 다루기.
• 계수가 연속적이고 유계인 경우에 한하여 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 타원형 SPDE에 대한 마팅게일 해의 존재성을 확립하기.
• 포아송 노이즈에서 일반 레비 노이즈로의 존재 결과를 근사 또는 극한 절차를 통해 확장하기.
• 반응-확산 형식의 방정식 맥락에서 점프 노이즈를 갖는 SPDE를 다루는 체계적인 프레임워크를 제공하기.

제안 방법

• 계수의 연속성과 유계성 조건 하에서 고정점 정리에 기반하여 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 타원형 SPDE에 대한 마팅게일 해를 먼저 구성하기.
• 시간이 변형된 레비 과정 표현을 적용하여 포아송 랜덤 측도를 레비 노이즈와 연결함으로써 결과를 레비 구동 SPDE로 이전할 수 있도록 하기.
• 근사 수열의 수렴을 경로 공간 상의 측도 공간에서 다루기 위해 사전 추정과 타이트니스 추론을 사용하기.
• 반응-확산 SPDE에 대해 약한 의미의 마팅게일 해 존재성을 보장하기 위해 야마다-와타나베 유형의 추론을 적용하기.
• 레비 과정의 캐논리컬 표현을 이용하여 일반 레비 경우를 포아송 경우로 환원하기.
• 반응-확산 방정식의 구조를 활용하여 해가 국소 마팅게일이 되기 위해 필요한 정규성과 적분 가능성 확보하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수가 연속적이고 유계인 경우에 한하여 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 타원형 SPDE에 대해 마팅게일 해가 존재하는가?
• RQ2 포아송 구동 SPDE에 대한 존재 결과를 일반 레비 노이즈 구동 SPDE로 확장할 수 있는가?
• RQ3 노이즈가 순수하게 점프 유형인 반응-확산 SPDE에 대해 마팅게일 해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 점프 노이즈 존재 조건 하에서 약한(마팅게일) 해의 존재를 보장하는 계수에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ5 클래식한 야마다-와타나베 접근법을 레비 노이즈와 비립시츠 계수를 갖는 SPDE에 어떻게 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 계수가 연속적이고 유계일 경우에 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 타원형 SPDE에 대해 마팅게일 해가 존재한다.
• 레비 과정을 포아송 랜덤 측도의 표현을 통해 사용함으로써 포아송 구동 SPDE에 대한 존재 결과가 일반 레비 노이즈 구동 SPDE로 성공적으로 확장된다.
• 이 논문은 레비 노이즈에 의해 구동되는 반응-확산 SPDE에 대한 마팅게일 해의 존재성을 확립하며, 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다.
• 해는 리프시츠 연속성 조건이 필요 없이 약한(마팅게일) 의미에서 구성된다.
• 해의 존재성을 보장하기 위해 경로 공간 상의 càdlàg 경로 공간에서의 타이트니스와 약한 수렴 기법에 의존한다.
• 이 프레임워크는 유한 활동성과 무한 활동성 레비 측도 모두에 적용 가능하여 다양한 점프 과정을 포함한다.