[논문 리뷰] $\mathcal{L}$-invariants, partially de Rham families and local-global compatibility

Yiwen Ding|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 29.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 필드 위의 2차원 준정적 비결정적 가환표현에 대해 Fontaine-Mazur $δ$-불변량의 일반화된 Colmez-Greenberg-Stevens 공식을 부분적으로 de Rham 가중가중족을 사용하여 수립한다. 이는 쿼aternion Shimura 곡선의 완비화 호모로지에서 국소-글로벌 호환성을 증명하며, 임계 경우에서 Fontaine-Mazur와 Breuil의 $δ$-불변량이 일치함을 보이며, 이는 이전 결과를 비임계 설정을 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

Let $F_{\wp}$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$. By considering partially de Rham families, we establish a Colmez-Greenberg-Stevens formula (on Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants) for (general) $2$-dimensional semi-stable non-crystalline $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}_p}/F_{\wp})$-representations. As an application, we prove local-global compatibility results for completed cohomology of quaternion Shimura curves, and in particular the equality of Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants and Breuil's $\mathcal{L}$-invariants, in critical case.

연구 동기 및 목표

• 이론적 $F_{\wp}$ 위의 2차원 준정적 비결정적 가환표현, 특히 임계 경우에 대해 Colmez-Greenberg-Stevens 공식을 $δ$-불변량으로 확장한다.
• 쿼aternion Shimura 곡선의 완비화 호모로지와 $p$-진 가환표현 간의 국소-글로벌 호환성을 확립하며, 특히 임계 표현에 대해 적용한다.
• 임계 경우에서 Fontaine-Mazur $δ$-불변량과 Breuil의 $δ$-불변량이 일치함을 증명하여, $p$-진 Langlands 프로그램에서 핵심 추측을 해결한다.
• 부분적으로 de Rham 가중가중족을 구성하고, 변형 이론과의 관계에서 $δ$-불변량과의 관련성을 분석한다.

제안 방법

• 부분적으로 de Rham 가중가중족을 사용하여 임베딩 집합 $\Sigma_{\wp}$ 의 부분집합에서 제어된 de Rham 행동을 갖는 가환표현을 매개변수화한다.
• B-쌍 호모로지와 삼각표현 이론을 적용하여 비임계 임베딩에 대해 Fontaine-Mazur $δ$-불변량을 정의한다.
• 미분형식을 포함하는 일반화된 Colmez-Greenberg-Stevens 공식을 적용한다: $ d\log(\delta_1\delta_2^{-1}(p)) + \sum_{\sigma \in S_n} \mathcal{L}_\sigma d(\mathrm{wt}(\delta_1\delta_2^{-1})_\sigma) \in \Omega^1_{A/E} $, 이는 특수점에서 0이 된다.
• 고유다양체와 완비화 호모로지를 활용하여 Emerton의 구성 $\widehat{\Pi}(\rho)$ 를 통해 $p$-진 자동형식을 가환표현과 연결한다.
• Kedlaya의 기울기 분할법과 전역 삼각표현 이론을 적용하여 $p$-진 힐베르트 모듈라 형식의 가중족과 그 임계 행동을 분석한다.
• 고정된 무게를 갖는 고전적 점들의 Zariski 폐쇄로 이루어진 닫힌 리만 기하학적 부분공간 $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)$ 를 구성하며, 이들의 $J$-de Rham 성질을 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 준정적 비결정적 가환표현의 임계 경우에 대해 Colmez-Greenberg-Stevens 공식을 $δ$-불변량으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비임계 임베딩에 대한 Fontaine-Mazur $δ$-불변량은 쿼aternion Shimura 곡선의 완비화 호모로지에 나타나는가?
• RQ3 임계 경우에서 완비화 호모로지와 가환표현 간에 국소-글로벌 호환성이 성립하는가?
• RQ4 임계 경우에서 Breuil의 $δ$-불변량과 Fontaine-Mazur $δ$-불변량은 일치하는가?
• RQ5 부분적으로 de Rham 가중가중족을 사용하여 고유다양체 내에서 $J$-de Rham 가환표현을 구성하고 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 2차원 삼각표현에 대해 일반화된 Colmez-Greenberg-Stevens 공식은 $F_{\wp}$ 위에서 임계 경우에도 성립하며, 미분형식이 특수점에서 0이 된다.
• 비임계 경우에서 Fontaine-Mazur $δ$-불변량은 완비화 호모로지 $\widehat{\Pi}(\rho)$ 에 실현되며, 이는 비임계 설정에서의 국소-글로벌 호환성을 확인한다.
• 임계 경우에서 Fontaine-Mazur $δ$-불변량과 Breuil의 $δ$-불변량이 일치함이 입증되었으며, 이는 $p$-진 수준에서 국소-랜글랜드스 상호작용을 지지한다.
• 부분적으로 de Rham 가중가중족은 부분집합 $J \subset \Sigma_{\wp}$ 에서 de Rham 행동을 제어할 수 있게 하여, 고유다양체 내에서 $J$-de Rham 가중가중족의 구성이 가능하다.
• 고정된 무게 $k_\sigma$ 를 갖는 고전적 점들의 Zariski 폐쇄 $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)$ 는 $J$-de Rham 가환표현을 매개변수화할 것으로 추측된다.
• 임계 경우는 고유다양체의 기하학과 비트리비어로 연결되어 있으며, $J$-de Rham 조건은 $\mathcal{E}(\underline{k}_J, w)^\prime$ 내 고전적 점들의 폐쇄를 특성화한다.