[논문 리뷰] $\mathcal{P}\mathcal{S}$ bent functions constructed from finite pre-quasifield spreads

Baofeng Wu|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 15.

Coding theory and cryptography참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 기하학에서 유한 전준필드 스プレ드를 사용하여 $π\mathcal{S}$ 벤트 함수의 새로운 부분집합을 명시적으로 구성하는 새로운 방법을 제안한다. 덤프월프-뮐러, 쿤스, 캔터 전준필드에서 유도된 매개변수화된 순열 다항식의 복합역함수를 계산하여, 세 가지 새로운 명시적 표현 가능 부분집합—$π\mathcal{S}_{\text{D-M}}$, $π\mathcal{S}_{\text{Knu}}$, 및 $π\mathcal{S}_{\text{Kan}}$—를 구성한다. 이는 30년이 넘는 기간 동안 $π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ 클래스를 초월하여 명시적인 구성이 이루어지지 않았던 $π\mathcal{S}$ 벤트 함수의 첫 번째 명시적 구성이다.

ABSTRACT

Bent functions are of great importance in both mathematics and information science. The $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class of bent functions was introduced by Dillon in 1974, but functions belonging to this class that can be explicitly represented are only the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ functions, which were also constructed by Dillon after his introduction of the $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class. In this paper, a technique of using finite pre-quasifield spread from finite geometry to construct $\mathcal{P}\mathcal{S}$ bent functions is proposed. The constructed functions are in similar styles with the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ functions. To explicitly represent them in bivariate forms, the main task is to compute compositional inverses of certain parametric permutation polynomials over finite fields of characteristic 2. Concentrated on the Dempwolff-Müller pre-quasifield, the Knuth pre-semifield and the Kantor pre-semifield, three new subclasses of the $\mathcal{P}\mathcal{S}$ class are obtained. They are the only sub-classes that can be explicitly constructed more than 30 years after the $\mathcal{P}\mathcal{S}_{ ext{ap}}$ subclass was introduced.

연구 동기 및 목표

• 30년이 넘는 기간 동안 $π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ 부분집합을 초월하여 $π\mathcal{S}$ 벤트 함수를 명시적으로 표현하는 데 오랫동안 미해결된 문제를 해결한다.
• 유한 기하학의 유한 전준필드 스プレ드를 사용하여 $π\mathcal{S}$ 벤트 함수를 구성하는 일반적인 기법을 개발한다.
• 특성 2 유한체 위에서 매개변수화된 순열 다항식의 복합역함수를 계산하여 이차형 다항식 표현을 가능하게 한다.
• 명시적인 다항식 형태를 가진 $π\mathcal{S}$ 클래스의 새로운 부분집합을 식별하고 특성화한다.
• 30년간 진전이 없었던 명시적 구성 가능한 $π\mathcal{S}$ 벤트 함수의 범위를 확장한다.

제안 방법

• 벤트 함수 구성의 기본 구조로 유한 전준필드 스プレ드를 활용하여 부분 스プレ드를 생성한다.
• 전준필드의 곱셈 연산에 기반한 매개변수화된 순열 다항식을 정의하며, 이는 구성의 핵심 요소이다.
• $ζ_{2^{m}}$에서 이러한 매개변수화된 순열 다항식의 복합역함수를 계산하여 결과 벤트 함수의 명시적 이변수 표현을 가능하게 한다.
• 복합역함수의 계산이 용이한 알려진 전준필드—던프월프-뮐러, 쿤스 전반필드, 캔터 전반필드—를 활용한다.
• 특성 2에서 선형 다항식 $L_a(z) = az^2 + \text{tr}(az)$의 복합역함수에 대한 명시적 공식을 $\text{tr}(a)$의 값에 따라 유도한다.
• 역다항식을 적용하여 $π\mathcal{S}$ 구성 원리를 통해 벤트 함수를 정의함으로써, 새로운 명시적 표현 가능한 부분집합을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 30년이 넘는 기간 동안 유일하게 알려진 명시적 부분집합인 $π\mathcal{S}_{\text{ap}}$ 클래스를 초월하여 $π\mathcal{S}$ 벤트 함수를 어떻게 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 유한 전준필드 스プレ드를 체계적으로 활용하여 명시적인 이변수 다항식 형태를 가진 새로운 $π\mathcal{S}$ 벤트 함수 부분집합을 구성할 수 있는가?
• RQ3 던프월프-뮐러, 쿤스, 캔터 전준필드에서 유도된 특정 전준필드의 매개변수화된 순열 다항식의 복합역함수는 무엇인가?
• RQ4 이 방법을 통해 이전에 알려지지 않은 새로운 $π\mathcal{S}$ 클래스 부분집합을 구성하고 특성 2 유한체 위에서 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 제안된 기법을 다른 전준필드로 일반화하거나 홀수 특성 유한체로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 던프월프-뮐러, 쿤스 전반필드, 캔터 전반필드를 각각 활용하여 $π\mathcal{S}_{\text{D-M}}$, $π\mathcal{S}_{\text{Knu}}$, $π\mathcal{S}_{\text{Kan}}$라는 세 가지 새로운 부분집합을 명시적으로 구성하였다.
• 매개변수화된 순열 다항식 $L_a(z) = az^2 + \text{tr}(az)$의 복합역함수는 $\text{tr}(a) = 0$ 및 $\text{tr}(a) = 1$인 두 경우 모두에 대해 명시적으로 계산되었으며, 이는 이차형 표현 가능성을 보장한다.
• 특히 $\text{tr}(a) = 0$일 경우 역다항식 $L_a^{-1}(z)$는 $\left(\frac{z}{a}\right)^{1/2} + \frac{\text{tr}(az)}{a^{1/2}}$로 유도되며, $\text{tr}(a) = 1$일 경우 더 복잡한 표현식(거듭제곱과 추적 항의 합을 포함)이 도출되며, 둘 다 $x^{2^m} + x$ 모듈로에서 유효하다.
• 벤트 함수 $F(x,y) = x \diamond y$는 역연산을 통해 명시적으로 정의되며, $\diamond$는 $L_x^{-1}(y)$로 정의되어 $\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 이변수 표현을 갖는다.
• 이 구성 방법은 일반적이며, 일반화된 캔터 또는 알버트 전준필드와 같은 다른 전준필드로도 확장되어 추가적인 새로운 부분집합을 생성할 수 있다.
• 이 결과는 30년간 지속된 $π\mathcal{S}$ 벤트 함수의 명시적 구성 격차를 해결하였으며, 이 클래스에서 명시적으로 표현 가능한 벤트 함수의 집합을 크게 확장하였다.