[논문 리뷰] Mathematical modelling of fractional order circuits

Miguel Ángel Moreles, Rafael Lainez|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 21.

Advanced Control Systems Design참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 리만-리우빌 분수계 파라미터를 사용하여 맥스웰 방정식과 구성 법칙을 일반화함으로써 분수계 RCL 회로 모델을 유도하고, 표준 초기 조건을 가능하게 하기 위해 결과 시스템을 카푸토 도수로 재구성한다. 주요 기여는 분수계 RCL 회로에서 전하에 대한 물리적으로 타당한 분수적 적분미분 방정식을 제시하며, 이는 경험적 생체임피던스 데이터와 일치하고 전자기학의 기본 원리에서 유도된다.

ABSTRACT

In this work a classical derivation of fractional order circuits models is presented. Generalized constitutive equations in terms of fractional Riemann-Liouville derivatives are introduced in the Maxwell's equations. Next the Kirchhoff voltage law is applied in a RCL circuit configuration. A fractional differential equation model is obtained with Caputo derivatives. Thus standard initial conditions apply.

연구 동기 및 목표

• 분수계 회로 모델을 전자기학의 고전적 원리에서 유도하여 경험적 피팅을 넘어서는 것.
• 분수계 모델(예: 코일 모델)이 데이터를 잘 설명하지만 물리적 메커니즘이 부족한 문제를 해결하는 것.
• 분수계 도수 행동이 분수도수를 포함하는 일반화된 구성 법칙에서 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.
• 리만-리우빌 도수에서의 비표준 초기 조건 문제를 카푸토 형태로 모델을 재구성함으로써 해결하는 것.
• 기본 물리 법칙과 물리적으로 의미 있는 초기 조건을 허용하는 분수계 RCL 회로 방정식을 유도하는 것.

제안 방법

• 리만-리우빌 분수도수를 사용하여 전자기학의 구성 법칙을 일반화하고, 투자 법칙과 일치하는 분수도수 옴의 법칙을 포함한다.
• 분수도수 시간 도수를 포함하는 일반화된 구성 법칙을 통해 분수계 회로 요소(저항기, 커패시터, 인덕터)를 정의한다.
• 토로이드 인덕터에 맥스웰 방정식과 앙페어의 법칙을 적용하여 카푸토 유사 도수를 포함하는 분수도수 전압-전류 관계를 유도한다.
• 분수도수 성분을 가진 직렬 RCL 회로에 키르히호프의 전압 법칙을 적용하여 전하 Q(t)에 대한 분수적 적분미분 방정식을 유도한다.
• 리만-리우빌 기반 모델을 표준 초기 조건이 적용 가능한 카푸토 기반 모델로 재구성한다.
• 최종 방정식에 순서 $1 - \beta$ 의 카푸토 도수를 적용하여 응용 분야에서 흔히 사용되는 형태를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 구성 법칙을 사용하여 고전적 전자기이론에서 분수계 회로 모델을 유도할 수 있는가?
• RQ2 리만-리우빌 도수에서의 분수도수를 표준 초기 조건을 허용하는 카푸토 도수로 변환하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 분수계 행동의 물리적 기반은 무엇인가? 특히 투자 법칙과 손실이 있는 유전체와의 관련성은?
• RQ4 분수도수의 저항기, 커패시터, 인덕터에 대한 분수도수의 제어 방정식은 한계에서 고전적 모델로 어떻게 축소되는가?
• RQ5 일반화된 구성 법칙을 적용했을 때 직렬 RCL 회로에 대한 최종 분수도수 미분 방정식은 무엇인가?

주요 결과

• 분수계 RCL 회로는 순서 $1 + \gamma$ 의 카푸토 기반 분수적 적분미분 방정식으로 제어되며, 자연스러운 초기 조건으로 $Q(0)$ 와 $D_t Q(0)$ 를 포함한다.
• 분수계 저항기는 $i(t) = \frac{1}{R_\alpha} D_t^{1-\alpha} v(t)$ 로 모델링되며, 고전적 한계에서 옴의 법칙으로 축소된다.
• 분수계 커패시터는 $Q(t) = C_\beta D_t^{1-\beta} v(t)$ 로 기술되며, $\beta \to 1$ 일 때 고전적 $Q = Cv$ 로 복구된다.
• 분수계 인덕터는 $v(t) = L_\gamma D_t^\gamma i(t)$ 로 따르며, $\gamma \to 1$ 일 때 고전적 $v = L \frac{di}{dt}$ 로 축소된다.
• 카푸토 형태의 최종 모델은 $L_\gamma \hat{D}_t^\gamma D_t Q(t) + R_\alpha \hat{D}_t^\alpha Q(t) + \frac{1}{C_\beta} J_t^{1-\beta} Q(t) = e(t)$ 이며, 물리적으로 의미 있는 초기 조건을 포함한다.
• 순서 $1 - \beta$ 의 카푸토 도수를 적용하면 $L_\gamma \hat{D}_t^{1-\beta} D_t \hat{D}_t^\gamma Q(t) + R_\alpha \hat{D}_t^{1-\beta} \hat{D}_t^\alpha Q(t) + \frac{1}{C_\beta} Q(t) = \hat{D}_t^{1-\beta} e(t)$ 가 되며, 이는 응용 분수역학에서 흔히 사용되는 형태이다.