[논문 리뷰] Matrix-Product Constructions for Hermitian Self-Orthogonal Codes

Somphong Jitman, Todsapol Mankean|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 13.

Coding theory and cryptography참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유한체 $\mathbb{F}_{q}$, $q = r^2$ 상에서 허미션 자기수직 코드에 대한 새로운 행렬곱 구성법을 제시한다. 입력 코드가 허미션 자기수직이 되어야 하고, 기저 행렬이 유니터리여야 하는 조건을 완화함으로써, 일반적인 기준을 설정하였으며, 이는 약한 준유니터리 및 약한 반준유니터리 행렬을 사용하여 양호한 허미션 자기수직 코드, 특히 일반화된 리드-솔로몬 코드에서 유도된 자기이중 예제를 포함하여 구성할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Self-orthogonal codes have been of interest due to there rich algebraic structures and wide applications. Euclidean self-orthogonal codes have been quite well studied in literature. Here, we have focused on Hermitian self-orthogonal codes. Constructions of such codes have been given based on the well-known matrix-product construction for linear codes. Criterion for the underlying matrix and the input codes required in such constructions have been determined. In many cases, the Hermitian self-orthogonality of the input codes and the assumption that the underlying matrix is unitary can be relaxed. Some special matrices used in the constructions and illustrative examples of good Hermitian self-orthogonal codes have been provided as well.

연구 동기 및 목표

• 자기수직 코드의 행렬곱 구성법을 허미션 경우로 확장하여, 입력 코드 및 기저 행렬에 대한 조건을 완화하는 것.
• 결과로 얻어진 행렬곱 코드가 허미션 자기수직이 되기 위한 기저 행렬과 입력 코드에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 특수 행렬과 기존의 코드 계열(예: 일반화된 리드-솔로몬 코드)을 사용하여 양호한 허미션 자기수직 코드의 구체적 예를 구성하는 것.
• 행렬 $A$의 구조적 성질을 탐색하여 $\mathbb{F}_{q}$ 상에서 $AA^\dagger$ 가 대각 또는 반대각이 되도록 하는 조건을 도입하고, 약한 준유니터리 및 약한 반준유니터리 행렬을 정의하는 것.
• 허미션 자기수직 코드를 통한 대칭 양자 코드 구성에의 적용을 보여주는 것.

제안 방법

• 선형 코드 $C_1, \dots, C_s$ 를 $\mathbb{F}_q$ 상에서 사용하고, 행렬 $A \in M_{s,l}(\mathbb{F}_q)$ 를 이용하여 행렬곱 코드 $C = [C_1, \dots, C_s] \cdot A$ 를 구성한다.
• 코드 $C$ 가 허미션 자기수직이 되는 조건을 설정한다: $AA^\dagger$ 는 대각 또는 반대각이어야 하며, 입력 코드는 특정 이중성 조건을 만족해야 한다.
• 유니터리 행렬을 일반화하기 위해 약한 준유니터리 행렬($AA^\dagger = \lambda D$, $D$ 는 대각행렬) 및 약한 반준유니터리 행렬($AA^\dagger = \lambda A_d$, $A_d$ 는 반대각행렬)의 개념을 도입한다.
• 이 구성법을 일반화된 리드-솔로몬(GRS) 코드에 적용하며, $C_1 = \mathrm{GRS}_{n,k}(w,\gamma)$ 와 $C_2 = (\mathrm{GRS}_{n,k+i}(w,\gamma))^\perp_H$ 를 사용하여 명시적인 매개변수를 갖는 코드를 유도한다.
• 결과로 얻어진 코드의 최소거리 $d$ 는 $\min\{2(n-k+1), k+i+1\}$ 이하로 바운드되며, 일부 경우에서 기존의 하한을 향상시킨다.
• 예를 들어 $q = 9, 16, 25, 49$ 를 사용하여, 길이 $2n$, 차원 $n-i$, 최소거리 $d \geq 10$ 에서 $d \geq 50$ 까지의 코드를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 코드의 허미션 자기수직성과 기저 행렬의 유니터리 성질을 행렬곱 구성에서 완화할 수 있는가?
• RQ2 유한체 $\mathbb{F}_q$, $q = r^2$ 상에서 행렬 $A$ 가 어떤 구조적 성질을 가져야 하는가? 이를 통해 행렬곱 코드가 허미션 자기수직이 되도록 보장할 수 있다.
• RQ3 비자기수직 입력 코드와 비유니터리 행렬을 사용하여 양호한 허미션 자기수직 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ4 GRS 코드와 그 허미션 쌍대체로부터 구성된 행렬곱 코드의 최소거리에 대한 하한은 무엇인가?
• RQ5 약한 준유니터리 및 약한 반준유니터리 행렬을 사용하여 새로운 허미션 자기수직 코드의 가족을 어떻게 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 행렬 $A$ 가 $AA^\dagger$ 가 대각 또는 반대각이 되는 조건을 만족할 경우, 행렬곱 코드가 허미션 자기수직이 되는 일반 기준을 설정한다.
• 입력 코드가 허미션 자기수직이 되어야 하고, $A$ 가 유니터리여야 하는 조건을 완화함으로써 더 넓은 구성의 유연성을 확보한다.
• $q = 9$ 인 경우, $[18,5,d]_{9}$ 코드를 $d \geq 10$ 으로 구성하였으며, $q = 49$ 인 경우 $[98,25,d]_{49}$ 코드를 $d \geq 50$ 으로 확보하였다.
• $i = 0$ 인 경우, 매개변수 $[2n,n,d]_q$ 와 $d \geq \min\{2(n-k+1), k+1\}$ 을 갖는 허미션 자기이중 코드를 유도한다.
• GRS 코드와 그 허미션 쌍대체를 사용하여, $q = 49$ 에서 최소거리 $d \geq 18$ 에서 $d \geq 50$ 까지의 코드를 구성하였으며, 강력한 최소거리 성능을 보였다.
• 약한 준유니터리 및 약한 반준유니터리 행렬이 완화된 구성법을 가능하게 하는 핵심 구성 요소로 규명하고 특성화하였다.