[논문 리뷰] Matrix product operators for symmetry-protected topological phases

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck외 4명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 17.

Quantum many-body systems참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 사영 얽힘 쌍 상태(PEPS)에서 대칭 보호 위상(SPT)을 분류하기 위해 행렬 곱 연산자(MPO) 형식을 도입한다. 여기서 국소 대칭은 군 원소로 표기된 MPO를 통해 국소 텐서의 가상 대칭으로 표현된다. 보손 SPT 위상의 분류는 한 세트의 MPO를 다른 세트로 연속적으로 변형하는 데 있어 위상적 장벽을 통해 유도되며, 이는 군 코homology 분류를 복원하고 SPT 위상 전이의 연구를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Projected entangled pair states (PEPS) provide a natural description of the ground states of gapped, local Hamiltonians in which global characteristics of a quantum state are encoded in properties of local tensors. We show that on-site symmetries, as occurring in systems exhibiting symmetry-protected topological (SPT) quantum order, can be captured by a virtual symmetry of the tensors expressed as a set of matrix product operators labelled by the different group elements. A classification of SPT phases can hence be obtained by studying the topological obstructions to continuously deforming one set of matrix product operators into another. This leads to the classification of bosonic SPT states in terms of group cohomology, as originally derived by Chen et al. in [1106.4772]. Our formalism accommodates perturbations away from fixed point models, and hence opens up the possibility of studying phase transitions between different SPT phases. We furthermore show how the global symmetries of SPT PEPS can be promoted into a set of local gauge constraints by introducing bosonic degrees of freedom on the links of the PEPS lattice, thereby providing a natural and general mapping between PEPS in SPT phases and topologically ordered phases.

연구 동기 및 목표

• 사영 얽힘 쌍 상태(PEPS)를 기반으로 한 대칭 보호 위상(SPT) 위상의 텐서 네트워크 기반 분류를 제공한다.
• SPT 위상에서의 국소 대칭이 행렬 곱 연산자(MPO)를 통해 PEPS 텐서의 가상 대칭으로 표현될 수 있음을 보여준다.
• MPO 변형에서의 위상적 장벽과 보손 SPT 위상의 군 코homology 분류 사이의 연결 고리를 수립한다.
• 고정점 모델을 초월하여 SPT 위상 간의 위상 전이를 연구할 수 있도록 프레임워크를 확장한다.
• 링크 자유도를 통해 전역 SPT 대칭을 국소 게이지 제약으로 승격시켜 SPT와 위상적으로 순서가 매겨진 위상 간의 연결을 이룬다.

제안 방법

• 군 원소로 표기된 행렬 곱 연산자(MPO)를 사용하여 PEPS에서 국소 대칭을 국소 텐서의 가상 대칭으로 표현한다.
• SPT 위상의 분류를 한 세트의 MPO를 다른 세트로 연속적으로 변형하는 데 있어 위상적 장벽으로 공식화한다.
• 군 코homology를 사용하여 유도된 MPO 구조를 분류하고, 보손 SPT 위상에 대해 Chen 등이 유도한 분류를 복원한다.
• PEPS 격자 링크에 추가적인 보손 자유도를 도입하여 전역 SPT 대칭을 국소 게이지 제약으로 승격시킨다.
• 이 게이지 제약 구조를 통해 SPT PEPS와 위상적으로 순서가 매겨진 위상 간의 일반적 매핑을 구성한다.
• 이 형식을 고정점 모델에서 벗어난 외부 힘에 대해 적용하여 SPT 위상 간의 연속적 위상 전이 분석이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SPT 위상에서의 국소 대칭은 어떻게 MPO를 통해 PEPS 텐서의 가상 공간에 체계적으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 PEPS 형식에서 SPT 위상을 분류하는 위상적 불변량은 무엇이며, 군 코homology와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 이 프레임워크는 고정점 모델을 초월하여 서로 다른 SPT 위상 간의 연속적 위상 전이를 기술할 수 있는가?
• RQ4 PEPS에서 전역 SPT 대칭은 어떻게 보조 자유도를 통해 국소 게이지 대칭으로 승격될 수 있는가?
• RQ5 MPO 대칭을 가진 PEPS의 맥락에서 SPT 순서와 위상적으로 순서가 매겨진 위상 간의 일반적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 PEPS에서 SPT 위상가 한 세트의 MPO를 다른 세트로 변형하는 데 있어 위상적 장벽에 의해 분류되며, 이는 보손 SPT 위상의 군 코homology 분류로 이어진다.
• MPO 형식은 PEPS 텐서의 국소 대칭을 가상 대칭으로 성공적으로 포착하여 SPT 순서의 텐서 네트워크 실현을 제공한다.
• 이 프레임워크는 고정점 모델에서 벗어난 외부 힘을 수용함으로써 SPT 위상 간의 위상 전이 연구가 가능하게 한다.
• PEPS에서 전역 SPT 대칭은 격자 링크에 보손 자유도를 도입함으로써 국소 게이지 제약으로 승격시킬 수 있다.
• 이 구조는 PEPS의 SPT 위상과 위상적으로 순서가 매겨진 위상 간에 자연스럽고 일반적인 매핑을 제공한다.
• 결과는 Chen 등이 원래 유도한 SPT 위상의 군 코homology 분류를 재현하여, PEPS 프레임워크 내에서 이 형식의 타당성을 검증한다.