[논문 리뷰] Matrosov's theorem using a family of auxiliary functions: an analysis tool to aid time-varying nonlinear control design

Andrew R. Teel, Antonio Lorı́a외 2명|ArXiv.org|2003. 04. 18.

Control and Dynamics of Mobile Robots참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Matrosov의 정리를 시간에 따라 변하는 비선형 시스템으로 확장하여 기원점의 균일 전역 점근적 안정성(UHAS)을 확립하기 위해 보조 함수의 집합을 도입한다. 라플라스 함수의 도함수가 0이 되는 집합에서 이들 함수의 도함수가 동시에 음의 정부호가 되도록 보장함으로써, 비자율 시스템에서 안정성 분석을 체계적으로 가능하게 하는 방법을 제공한다. 이는 드리프트가 없는 포트로 연결된 비환원형 및 사슬형 비환원형 시스템에 적용된 바 있다.

ABSTRACT

We present a new result on uniform attractivity of the origin for nonlinear time-varying systems. Our theorem generalizes Matrosov's theorem which extends, in a certain manner, Krasovskii-LaSalle invariance principle to the case of general nonlinear time-varying systems. We show the utility of our theorem by addressing a control problem of port interconnected driftless systems. The latter includes as special case, the control of chained-form nonholonomic systems which has been extensively studied in the literature.

연구 동기 및 목표

• 표준 불변성 원리(예: Krasovskii-LaSalle)가 적용되지 않는 시간에 따라 변하는 비선형 시스템에서 균일 전역 점근적 안정성(UHAS)을 증명하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 단일 보조 함수가 아닌 유한한 수의 보조 함수를 도입함으로써 Matrosov의 정리를 일반화하여 안정성 분석의 유연성을 높이기.
• 라플라스 함수 도함수가 비자명한 집합에서 0이 되는 경우에도, 보조 함수 도함수의 동시에 음의 정부호가 되도록 보장함으로써 UHAS를 검증하기 위한 체계적인 프레임워크 제공.
• 특히 사슬형 시스템으로 알려진 도전적인 안정성 특성을 지닌 비환원형 제어 시스템에 대해 제안된 방법의 유용성을 입증하기.
• Barbălat의 보조정리에 의존하지 않고 보다 체계적인 보조 함수 접근법을 사용함으로써 시간에 따라 변하는 제어 시스템에 대해 엄밀한 분석 도구를 확립하기.

제안 방법

• 유한한 수의 보조 함수 $ V_1, \dots, V_j $ 를 사용하는 새로운 안정성 정리를 제안하며, 각 함수는 컴팩트 세트에서 연속 미분 가능하고 유계임.
• 합성 함수 $ W(t,x) = \sum_{i=1}^{j-1} K_i V_i(t,x) + V_j(t,x) $ 를 정의하며, 여기서 $ K_i > 0 $ 은 도함수가 음의 정부호가 되도록 선택된 양수 상수이다.
• 라플라스 함수 도함수가 0이 되는 조건에서 총 시간 도함수 $ \dot{W} \leq Z(x, \phi(t,x)) $ 가 되는 조건을 설정하며, 여기서 $ Z $ 는 기원점 주변의 이웃에서 균일하게 음의 정부호이다.
• 콤���트성과 연속성의 성질을 이용하여, 라플라스 도함수가 0이 되는 경우 보조 함수 도함수가 0에서 멀리 떨어져 있도록 보장한다.
• 시간 간격 $ T $ 에서 $ \dot{W} $ 를 통합한 모순 추론을 적용하여, 상태가 기원점의 어떤 원하는 이웃에 들어가고 그 안에 머물도록 보장한다.
• 기원점의 균일 안정성과 $ W $ 의 음의 도함수 하한의 존재를 활용하여, 시간 간격 추론을 통해 UHAS를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 보조 함수를 사용하여 Matrosov의 정리를 시간에 따라 변하는 비선형 시스템에 일반화할 수 있는가?
• RQ2 라플라스 함수 도함수가 비자명한 집합에서 0이 되는 경우, 보조 함수의 집합이 어떻게 균일 전역 점근적 안정성(UHAS)을 보장할 수 있는가?
• RQ3 이 확장된 프레임워크는 비환원형 시스템, 특히 사슬형 시스템에 적용되어 Barbălat의 보조정리에 의존하지 않고 UHAS를 확립할 수 있는가?
• RQ4 라플라스 도함수가 0이 되는 집합에서 보조 함수 도함수가 동시에 음의 정부호가 되도록 하기 위해 보조 함수가 만족해야 할 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ5 일반적인 선택 기준이 없음에도 불구하고, 실무에서 보조 함수의 선택은 어떻게 이끌릴 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 정리는 시간에 따라 변하는 비선형 시스템에서 기원점의 균일 전역 점근적 안정성(UHAS)을 보조 함수의 유한한 집합을 사용하여 확립한다.
• 이 방법은 라플라스 도함수가 0이 되는 경우에도 합성 함수 $ W $ 의 도함수가 컴팩트 세트에서 균일하게 음의 정부호 함수 $ Z $ 에 의해 위에서 유계임을 보장한다.
• 모든 $ \delta > 0 $ 에 대해 $ \varepsilon > 0 $ 과 양수 상수 $ K_i $ 가 존재하여 $ \mathcal{H}(\delta, \Delta) \times \mathcal{B}(\mu) $ 에서 $ Z(x, \phi(t,x)) \leq -\varepsilon / 2^{j-1} $ 가 성립하며, 이는 라플라스 유사 함수의 지수 감쇠를 보장한다.
• 증명은 시간 간격 추론을 사용한다: 상태가 기원점의 이웃에서 $ T > 2^j \eta / \varepsilon $ 동안 머무르면, 함수 $ W $ 는 초기 값의 범위를 초월해 감소하게 되어 모순이 발생한다.
• 이 프레임워크는 드리프트가 없는 포트로 연결된 시스템, 특히 사슬형 비환원형 시스템에 성공적으로 적용되어 UHAS를 확립하였다.
• 이 방법은 Barbălat의 보조정리에 의존하지 않고, 보조 함수 설계와 통합 한계를 통한 직접적이고 구성적인 UHAS 도달 경로를 제공한다.