[논문 리뷰] Maximal ratio of coefficients of divisors and an upper bound for height for rational maps

ChongGyu Lee|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 유리 함수 $ f: \bb{P}^n \to \bb{P}^n $ 에 대해, 분기점이 초평면 $ H $ 에 포함된 경우에 D-비율을 도입하여, 종말형 사상에 대한 Northcott 정리의 일반화를 위한 높이 부등식을 수립한다. 주요 결과는 D-비율이 분기점이 존재하는 경우에도 반복에 따른 점의 높이에 대한 상계를 가능하게 하며, Hénon 사상과 같은 특정 유리 함수에 대해 정규 높이 함수의 존재를 보장한다.

ABSTRACT

When we have a morphism f : P^n -> P^n, then we have an inequality \frac{1}{°f} h(f(P)) +C > h(P) which provides a good upper bound of $h(P)$. However, if $f$ is a rational map, then \frac{1}{°f} h(f(P))+C cannot be an upper bound of h(P). In this paper, we will define the $D$-ratio of a rational map $f$ which will replace the degree of a morphism in the height inequality of h(P).

연구 동기 및 목표

• 분기점이 있는 유리 함수에 대해 정규 높이 이론을 확장하기 위해 새로운 불변량인 D-비율을 도입하는 것.
• 비종말형 유리 함수에 대해 Northcott 정리의 실패를 극복하기 위해 더 약한데도 유용한 높이 부등식을 수립하는 것.
• Hénon 사상과 같이 특정 유리 함수에 대해 정규 높이 함수의 존재를 보장하는 충분조건을 제공하는 것.
• 분기점의 해소를 통해 종말형 사상에서의 차수 기반 높이 비교를 유리 함수로 일반화하는 것.
• D-비율을 사용하여 반복에 따른 높이의 점근적 성장을 분석하고, 동역학적 차수 및 정규 높이와의 관계를 규명하는 것.

제안 방법

• 분기점의 해소를 통해 $ f $ 의 초평면의 역상에 대한 계수의 최대 비율로 D-비율 $ r(f) $ 를 정의한다. 이를 위해 $ \tilde{f} = f \circ \rho $ 와 같은 이분형 사상 $ \rho $ 를 사용한다.
• 해소된 공간 $ V $ 에서 Weil 높이 기계를 사용하여 $ \tilde{f}^*H $ 와 $ \rho^*H $ 를 비교하고, 총변환과 특이점 분리자들의 선형 조합을 도출한다.
• 모든 $ P \in \bb{P}^n(\overline{K}) \setminus H $ 에 대해 $ \frac{r(f)}{\deg f} h(f(P)) + C > h(P) $ 를 만족하는 높이 부등식을 유도한다. 여기서 $ C $ 는 $ f $ 에만 의존한다.
• 분기점이 서로 겹치지 않는 두 유리 함수 $ f_1, f_2 $ 에 대해 공동 높이 부등식을 수립한다: $ \frac{1}{\deg f_1} h(f_1(P)) + \frac{1}{\deg f_2} h(f_2(P)) + C' > \left(1 + \min_l \frac{1}{r(f_l)} \right) h(P) $.
• D-비율을 동역학적 차수 $ \deg f $, 정규 차수 $ c(f) $, 최대 성장률 $ \mu(f) $ 와 연결하여 $ \mu(f) \geq c(f) \geq \frac{\deg f}{r(f)} $ 를 증명한다.
• Hénon 사상과 곡선이 점으로 사라지는 유리 함수의 예시에 이 이론을 적용하여, 후자의 경우 $ r(f) = \infty $ 임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분기점이 있는 유리 함수, 예를 들어 Hénon 사상에 대해 정규 높이 함수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 비종말형 유리 함수에 대해 높이 비교에서 차수를 일반화하는 불변량은 무엇인가?
• RQ3 D-비율은 유리 함수의 반복에 따른 높이의 점근적 행동을 어떻게 제어하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 유리 함수가 $ h(f(P)) $ 를 포함한 $ h(P) $ 의 Northcott 유형 상계를 만족하는가?
• RQ5 D-비율, 동역학적 차수, 그리고 유리 함수의 정규 차수 $ c(f) $ 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• D-비율 $ r(f) $ 는 분기점의 해소를 통해 정의되며, $ r(f) \geq 1 $ 이고, 등호가 성립하는 것은 $ f $ 가 종말형 사상일 때에 한한다.
• 분기점이 초평면 $ H $ 에 포함된 임의의 유리 함수 $ f $ 에 대해, 모든 $ P \in \bb{P}^n(\overline{K}) \setminus H $ 에 대해 $ \frac{r(f)}{\deg f} h(f(P)) + C > h(P) $ 를 만족하는 상수 $ C $ 가 존재한다.
• 분기점이 서로 겹치지 않는 두 유리 함수 $ f_1, f_2 $ 에 대해, 공동 높이 부등식 $ \frac{1}{\deg f_1} h(f_1(P)) + \frac{1}{\deg f_2} h(f_2(P)) + C' > \left(1 + \min_l \frac{1}{r(f_l)} \right) h(P) $ 가 성립한다.
• 정규 차수 $ c(f) $ 는 $ c(f) \geq \frac{\deg f}{r(f)} $ 를 만족하며, 사상이 그 상사에 대해 일반적으로 유한할 경우 등호가 성립한다.
• 만약 곡선 $ C \subset \bb{A}^n $ 이 $ f $ 에 의해 한 점으로 사라지면, $ r(f) = \infty $ 가 되며, 이는 높이 부등식이 $ h(P) $ 의 상한을 보장하지 못함을 의미한다.
• Hénon 사상 $ g $ 에 대해, 쌍 $ (g, g^{-1}) $ 는 정리 B의 조건을 만족하므로 정규 높이 함수가 존재하며, 이는 종말형 사상의 경우를 일반화한다.